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人気問題

せいすう

k4rc 自動ジャッジ 難易度:
39日前

18

問題文

$4999$ 以下の素数の組 $(p,q,r,s)$ が以下の式を満たしているとき,積 $pqrs$ が取りうる値の総和を解答してください.
$$ pqr+pqs-p^2 = q^2+2 $$

解答形式

正の整数を半角で解答.

きゅうちきか

k4rc 自動ジャッジ 難易度:
22日前

3

問題文

$AB \lt AC$ なる三角形 $ABC$ について,その外心を $O$ とし,線分 $BC$ 上に点 $D$ を $BD \gt CD$ となるように取ります. $B,C$ から直線 $AD$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $X,Y$ とし, $X$ を通り直線 $AB$ に平行な直線と $Y$ を通り直線 $AC$ に平行な直線の交点を $Z$ とすると,三角形 $XYZ$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円は点 $T$ で接しました.また,直線 $BC$ について $O$ と対称な点を $S$ とすると,以下が成り立ちました.
$$ AS:AO:OD = 7:5:2$$このとき, $\dfrac{AT}{AO}$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せるので, $a+b$ の値を解答してください.

解答形式

正の整数を半角で解答.

きゅうちきか 2

k4rc 自動ジャッジ 難易度:
4日前

1

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について,その外心を $O$ ,垂心を $H$ とし,頂点 $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします.また,三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $AEF$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $K$ とします.ここで,線分 $EF$ 上の点 $S$ を $\angle SHO = 90^{\circ}$ となるように取ると,以下が成り立ちました.
$$ KS : SH : HD = 21 : 9 : 8 \sqrt{5} , \quad DK = 20 $$ このとき,線分 $BC$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ の値を解答してください.

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正の整数を半角で解答.

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きゅうちきか 2

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1

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について,その外心を $O$ ,垂心を $H$ とし,頂点 $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします.また,三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $AEF$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $K$ とします.ここで,線分 $EF$ 上の点 $S$ を $\angle SHO = 90^{\circ}$ となるように取ると,以下が成り立ちました.
$$ KS : SH : HD = 21 : 9 : 8 \sqrt{5} , \quad DK = 20 $$ このとき,線分 $BC$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ の値を解答してください.

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正の整数を半角で解答.

きゅうちきか

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22日前

3

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$AB \lt AC$ なる三角形 $ABC$ について,その外心を $O$ とし,線分 $BC$ 上に点 $D$ を $BD \gt CD$ となるように取ります. $B,C$ から直線 $AD$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $X,Y$ とし, $X$ を通り直線 $AB$ に平行な直線と $Y$ を通り直線 $AC$ に平行な直線の交点を $Z$ とすると,三角形 $XYZ$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円は点 $T$ で接しました.また,直線 $BC$ について $O$ と対称な点を $S$ とすると,以下が成り立ちました.
$$ AS:AO:OD = 7:5:2$$このとき, $\dfrac{AT}{AO}$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せるので, $a+b$ の値を解答してください.

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せいすう

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$4999$ 以下の素数の組 $(p,q,r,s)$ が以下の式を満たしているとき,積 $pqrs$ が取りうる値の総和を解答してください.
$$ pqr+pqs-p^2 = q^2+2 $$

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