k4rc
問題文
$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とし，頂点 $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．また，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $AEF$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $K$ とします．ここで，線分 $EF$ 上の点 $S$ を $\angle SHO = 90^{\circ}$ となるように取ると，以下が成り立ちました．
$$ KS : SH : HD = 21 : 9 : 8 \sqrt{5} , \quad DK = 20 $$ このとき，線分 $BC$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．
解答形式
正の整数を半角で解答．
問題文
$AB \lt AC$ なる三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ とし，線分 $BC$ 上に点 $D$ を $BD \gt CD$ となるように取ります． $B,C$ から直線 $AD$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $X,Y$ とし， $X$ を通り直線 $AB$ に平行な直線と $Y$ を通り直線 $AC$ に平行な直線の交点を $Z$ とすると，三角形 $XYZ$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円は点 $T$ で接しました．また，直線 $BC$ について $O$ と対称な点を $S$ とすると，以下が成り立ちました．
$$ AS:AO:OD = 7:5:2$$このとき， $\dfrac{AT}{AO}$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．
解答形式
正の整数を半角で解答．