数学問題

$a,x,y,z$をそれぞれ異なる自然数とし、$x>y>z$とする。
この時、$$(\frac{a^{2}-x^{2}}{2x})^{2}+(\frac{a^{2}-y^{2}}{2y})^{2}=(\frac{a^{2}-z^{2}}{2z})^{2}$$を成り立たせるそれぞれが異なる有理数$a,x,y,z$の組について、$x,y,z$を$x^{2}+y^{2}=t^{2}$($t$を有理数とする),$z=\frac{xy}{t}$と定めると解が存在しないことを証明せよ。

解答形式

あまり大雑把にならないようにしてください。

数学問題

$a,x,y,z$をそれぞれ異なる自然数とし、$x>y>z$とする。
この時$$a^{2}=\frac{xyz(xyz±\sqrt{(x^{2}+y^{2})(x^{2}-z^{2})(y^{2}-z^{2})}}{(y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}-x^{2}y^{2})}$$を成り立たせる$a,x,y,z$の組はあるか。

解答形式

ある場合はその組を答え、ない場合はその証明をしてください。

問題

$6$次方程式のグラフ
$$y=(\frac{1}{3p^{2}}+\frac{1}{3q^{2}}-\frac{1}{3r^{2}})x^{6}-x^{4}+(p^{2}+q^{2}-r^{2})x^{2}+C$$
($p,q,r$を自然数、$C$を定数とする。
また、$p>q>r$である。)
があり、

このグラフの極値の$x$座標をそれぞれ$t_{1},t_{2},t_{3},t_{4},t_{5}$とする。
(このとき$t_{1},t_{2}< t_{3}< t_{4},t_{5}$とし、$t_{2},t_{3},t_{4}$は整数である。)

$\alpha,\beta,\gamma$の値が完全直方体の$3$辺であると仮定したとき、次の問いに答えよ。
(完全直方体が1つしか存在しないと仮定し、$\alpha <\beta <\gamma$である。)

(1)$t_{3}$の値を求めよ。

(2)$t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5}$の値を求めよ。

(3)$r$の値と等しいものは次のうちどれか。
番号で答えよ。

$1.\beta-\alpha$
$2. \gamma-\beta$
$3. \gamma-\alpha$
$4. \sqrt{\beta^{2}+\gamma^{2}}-\alpha$
$5. \sqrt{\alpha^{2}+\gamma^{2}}-\beta$
$6. \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}-\gamma$
$7. \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}-\alpha$

(4)$t_{4}$の値と等しいものは次のうちどれか。
番号で答えよ。

$1. \alpha$
$2. \alpha+\beta$
$3. \alpha+\beta+\gamma$
$4. \alpha+\beta-\gamma$
$5.-\alpha+\beta+\gamma$

解答形式

行ごとのジャッチです。