数列${a_n}$を以下のように定義する。 $$ \begin{eqnarray} a_1&=&\int_0^1dx\\ a_{n+1}&=&\int_0^{a_n+1}x^{a_n}dx \end{eqnarray} $$ このとき、$\log_{10}(a_5)$の値を求めよ。
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この問題には、必ず最初に解答をしてください。 解答はどんなものでも構いません。もし迷った際は、以下の文章をコピーペーストしても構いません。 「生命、宇宙、そして万物についての究極の疑問の答えは42です」 最初に解答されなかった場合、以降の解答は無効となります。
$$\int^1_0\int^{\sqrt{1-z^2}}_0\sqrt{1-z^2-y^2}dydz$$
次の値を小数第2位まで答えよ。 $$\int_0^1\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2}2}dx$$ ただし必要ならば以下のリンクを使ってもよい。 https://ja.wikipedia.org/wiki/正規分布#正規分布表
$(x,y)$を$x^2+y^2=1,x\geqq0,y\geqq0$を満たすようにとる。 $z=(x,y)\cdot(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2})$としたとき、以下の値を求めよ。 $$\int_0^1zdx$$
$a$は$x$と独立であるとする。 $x$の方程式 $$(\cos^4x)^{\log_2(a\sin x)+1}=(a\sin2x)^{\log_2(a\sin2x)}$$ の$0\leqq x\leqq \frac\pi2$における解を$y$とする。 この時、以下の値を求めよ。 $$\int_0^1\frac1{\sin^2y}da$$
(1) $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$を用いて, $\displaystyle\lim_{t\to +0}\int_{t}^{1} \log{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}}\, d\theta = -\log{2}$を示せ(極限値の存在は認めてよい). これを用いて$\displaystyle\lim_{t\to + 0}\int_{t}^{1} \dfrac{\theta\cos{\frac{\pi}{2}\theta}}{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta$ を求めよ.
(2) $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \left(\int_{\frac{1}{n}}^{1} \sqrt[n]{\sin{\dfrac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta\right)^{n} $を求めよ.
電卓などを利用することで, (1)の答えを $L_1$ とし, (2)の答えを $L_2$ とするとき, $L_1 + L_2$ の値を小数点第5位まで表示したものを回答してください. (例:0.1234567なら0.12345と解答する)
$1000^{n}$ ($n$ は自然数) の正の約数の個数を $D_{n}$ とし, そのうち $10^{n}$ より大きく, $100^{n}$ より小さいものの個数を $K_{n}$ とする。 極限値 $$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{K_{n}}{D_{n}} $$ を求めよ。
電卓を用いるなどして極限値の小数第5位までを解答してください.(0.1234567...の場合0.12345と解答する)
本問は京大作問サークル理系模試2019の第1回6番に掲載している問題です.
$$\int-\frac1{x^2}dx$$
$$\int^\sqrt2_{-\sqrt2}\sin x\cos x\{\tan x+\tan{(\frac{\pi}{2}-x)}\}dx$$
$$\int^2_0[2^x]dx$$ ただし[]はガウス記号
この問題は、コンテスト機能のテストをするために投稿します。大喜利でもどうぞ。 $$2+2=?$$
$\sin \angle BAC = \dfrac{7}{8}$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ について,$B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $D$,$C$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $E$ とします.また,線分 $BC$ 上に点 $F$ を $\angle DEF = 90^\circ$ を満たすように取ったところ $BF=2, CF=6$ が成立しました.このとき,三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください.ただし,答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
半角整数値で解答してください.