座王001(A2)

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問題文

$1,2,3,4,5,6,7,8,9$ を並べ替えてできる $9$ 桁の正の整数のうち $99$ の倍数であるものの最大値を求めてください．$\

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半角数字で解答してください．

QMT001(自作問題2問目)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

初等幾何競技数学

16月前

12

問題文

直線 $AT$ に点 $T$ で接する円 $\Gamma$ を描き， $A$ を通る直線 $m$ と円 $\Gamma$ の交点を $A$ に近い方から順に $B,C$ とします．
また， $\angle{CAT}$ の二等分線と直線 $BT$ ，直線 $CT$ の交点をそれぞれ $D,E$ とします．
$BD=4,DE=8,EC=9$ となったとき， $\triangle{TBC}$ の面積を $S$ とすると， $S^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

座王001(サドンデス3)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

競技数学

16月前

13

問題文

$101\times101$ のマス目の各マスには $0,1$ のいずれかが書かれており，どの $2\times2$ のマス目についても $0,1$ が少なくとも $1$ つずつは書き込まれているとき，マス目に書かれた数の和の最大値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

座王001(N2)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

競技数学

16月前

16

問題文

正の整数 $n$ に対し，「 $n$ の各位の積の一の位」を $f(n)$ とします．
$f(1000)+f(1001)+f(1002)+\cdots+f(9998)+f(9999)$ の値を解答してください．

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半角数字で解答してください．

座王001(C1)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

競技数学

16月前

14

問題文

半径が $1,2,3,4,5$ の同心円に半径 $5$ の円の直径を $1$ 本付け加えて出来る図形を一筆書きで描く方法は何通りあるかを求めてください．
ただし，同じ道でも向きが異なる一筆書きは異なるものとして数えるものとします．

解答形式

半角数字で解答してください．

座王001(サドンデス4)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

初等幾何競技数学

16月前

11

問題文

$\triangle{ABC}$ の辺 $AC$ に接する傍接円の中心を $I_B$ ，辺 $AB$ に接する傍接円の中心を $I_C$ とし， $I_BI_C$ の中点を $M$ とする．
$I_BI_C=14,BC=10$ のとき， $\triangle{MBC}$ の面積を $2$ 乗した値を解答してください．

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半角数字で解答してください

座王001(A1)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

競技数学

16月前

17

問題文

$0$ でない相異なる実数 $a,b,c,d$ が以下の関係式を満たすとき， $a^2+b^2+c^2+d^2$ の値を求めてください．
$\begin{cases} a^3-12a^2-34a+bcd=0\\ b^3-12b^2-34b+cda=0\\ c^3-12c^2-34c+dab=0\\ d^3-12d^2-34d+abc=0\\ \end{cases}$

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半角数字で解答してください．

座王001(G2)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

初等幾何競技数学

16月前

13

問題文

$\triangle{ABC}$ の外接円を $O_1$ とし，辺 $CA$ ，辺 $CB$ ，円 $O_1$ に接する円を $O_2$ とします．また，円 $O_2$ と辺 $CA$ ，辺 $CB$ ，円 $O_1$ の接点をそれぞれ $P,Q,T$ とし，直線 $TP$ と円 $O_1$ の交点を ${R}(\ne{T})$ とし，直線 $TQ$ と円 $O_1$ の交点を $S(\ne{T})とします．$
$TA=23,TB=35,TC=57$ のとき，(四角形 $ARCS$ の面積):(四角形 $BSCR$ の面積)は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので， $a+b$ の値を解答してください．

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半角数字で解答してください．

QMT002(自作問題2問目)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

初等幾何競技数学

16月前

18

問題文

円 $O_1$ ，円 $O_2$ が点 $P$ で外接しており，円 $O_1$ 上の点 $Q$ における円 $O_1$ の接線を引いたところ円 $O_2$ と異なる $2$ 点で交わったので，その $2$ 交点を $Q$ に近い方から順に $A,B$ とします．
$AP=4,AB=6,BP=9$ となったとき， ${PQ}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

座王001(サドンデス2)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

競技数学

16月前

9

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ 上に ${BC}\parallel{DE}$ となるよう $D,E$ をとり，さらに， $D,F,G,E$ がこの順に並ぶように点 $F,G$ を線分 $DE$ 上にとる．さらに，辺 $BC$ と直線 $AF,AG$ との交点をそれぞれ $H,I$ とする．
三角形 $ADF$ ，四角形 $FGIH$ ， $AEG$ の面積がそれぞれ $3,5,8$ であるとき，三角形 $ABC$ の面積の最小値は正の整数 $a,b$ および平方因子をもたない正の整数 $c$ を用いて $a+b\sqrt{c}$ と表せるので， $a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

SMC100(問題75)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

初等幾何競技数学

16月前

9

問題文

正 $7$ 角形 $ABCDEFG$ の外側に正 $6$ 角形 $ABPQRS$ を描きます．
このとき， $\angle{EGP}-\angle{GPR}$ の値は度数法で互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

座王001(G1)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

初等幾何競技数学

16月前

14

問題文

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ ，外心を $O$ とし， $A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします．
$OH=3,AH:HD=7:2$ であり， $\triangle{ABC}$ の外接円半径が $5$ であるとき， ${OD}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

座王001(A2)

問題文

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