実数 x,y,z が {x+y+z=72x2+y2+z2+3(xy+yz+zx)=14x2y+y2z+z2x+xy2+yz2+zx2+2xyz=8 を満たすとき,y2x2+z2y2+x2z2 の値として考えられるものの総和は互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b の値を解答してください.
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1,2,3,4,5,6,7,8,9 を並べ替えてできる 9 桁の正の整数のうち 99 の倍数であるものの最大値を求めてください.$\
直線 AT に点 T で接する円 Γ を描き,A を通る直線 mと円 Γ の交点を A に近い方から順に B,C とします. また,∠CAT の二等分線と直線 BT,直線 CT の交点をそれぞれ D,E とします. BD=4,DE=8,EC=9 となったとき,△TBC の面積を S とすると,S2 は互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表されるので,a+b の値を解答してください.
101×101 のマス目の各マスには 0,1 のいずれかが書かれており,どの 2×2 のマス目についても 0,1 が少なくとも 1 つずつは書き込まれているとき,マス目に書かれた数の和の最大値を求めてください.
正の整数 n に対し,「 n の各位の積の一の位」を f(n) とします. f(1000)+f(1001)+f(1002)+⋯+f(9998)+f(9999) の値を解答してください.
半径が 1,2,3,4,5 の同心円に半径 5 の円の直径を 1 本付け加えて出来る図形を一筆書きで描く方法は何通りあるかを求めてください. ただし,同じ道でも向きが異なる一筆書きは異なるものとして数えるものとします.
△ABC の辺 AC に接する傍接円の中心を IB,辺 AB に接する傍接円の中心を IC とし,IBIC の中点を M とする. IBIC=14,BC=10 のとき,△MBC の面積を 2 乗した値を解答してください.
半角数字で解答してください
0 でない相異なる実数 a,b,c,d が以下の関係式を満たすとき,a2+b2+c2+d2 の値を求めてください. {a3−12a2−34a+bcd=0b3−12b2−34b+cda=0c3−12c2−34c+dab=0d3−12d2−34d+abc=0
△ABC の外接円を O1 とし,辺 CA,辺 CB,円 O1 に接する円を O2 とします.また,円 O2 と辺 CA ,辺 CB,円 O1 の接点をそれぞれ P,Q,T とし,直線 TP と円 O1 の交点を R(≠T) とし,直線 TQ と円 O1 の交点を S(≠T)とします. TA=23,TB=35,TC=57 のとき,(四角形 ARCS の面積):(四角形 BSCR の面積)は互いに素な正の整数 a,b を用いて a:b と表されるので,a+b の値を解答してください.
円 O1,円 O2 が点 P で外接しており,円 O1 上の点 Q における円 O1 の接線を引いたところ円 O2 と異なる 2 点で交わったので,その 2 交点を Q に近い方から順に A,B とします. AP=4,AB=6,BP=9 となったとき,PQ2 の値は互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b の値を解答してください.
三角形 ABC の辺 AB,AC 上に BC∥DE となるよう D,E をとり,さらに,D,F,G,E がこの順に並ぶように点 F,G を線分 DE 上にとる.さらに,辺 BC と直線 AF,AG との交点をそれぞれ H,I とする. 三角形 ADF,四角形 FGIH,AEG の面積がそれぞれ 3,5,8 であるとき,三角形 ABC の面積の最小値は正の整数 a,b および平方因子をもたない正の整数 c を用いて a+b√c と表せるので,a+b+c の値を解答してください.
正 7 角形 ABCDEFG の外側に正 6 角形 ABPQRS を描きます. このとき,∠EGP−∠GPR の値は度数法で互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b の値を解答してください.
鋭角三角形 ABC の垂心を H,外心を O とし,A から BC に下ろした垂線の足を D とします. OH=3,AH:HD=7:2 であり,△ABC の外接円半径が 5 であるとき,OD2 の値は互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b の値を解答してください.