解説
$a+b=t, ab=s$ とおくと，
$$
a^{2}+b^{2}\leqq2\\
(a+b)^2-2ab\leqq2 \\
t^{2}-2s\leqq2
$$
ここで $a,b$ は実数だから，$x=a,b$ を解とする $x$ についての二次方程式 $(x-a)(x-b)=0$ は $x^{2}-(a+b)x+ab=0$ であり，$t, s$ を用いて $x^{2}-tx+s=0$ と表されるから，この二次方程式が実数解を持つ条件は
$$
0\leqq t^{2}-4s
$$
以上から $t,s$ は
$$
\frac{t^{2}}{2}-1\leqq s \leqq\frac{t^{2}}{4}
$$
を満たす。また
$$
\frac{t^{2}}{2}-1\leqq \frac{t^{2}}{4}
\\-2\leqq t\leqq2
$$
である。
直線は $y=tx+s$ と表される。先の条件に代入して
$$
\frac{t^{2}}{2}-1 \leqq-tx+y \leqq \frac{t^{2}}{4}\\
\frac{t^{2}}{2}+xt-1\leqq y \leqq \frac{t^{2}}{4}+xt
$$
ここで，$-2\leqq t\leqq 2$の範囲で，$y$ はどのような範囲を動くかを考える。$f(t),g(t)$ を
$$
f(t)\\
=\frac{t^{2}}{2}+xt-1\\
=\frac{1}{2}(t+x)^{2}-\frac{1}{2}x^{2}-1\\
g(t)\\
=\frac{t^{2}}{4}+xt\\
=\frac{1}{4}(t+2x)^{2}-x^{2}
$$
のようにおくと，$f(t)$ の最小値 $m_{f}$ は
$2\leqq x$ のとき，
$$
m_{f}=f(-2)=-2x+1
$$
$-2\leqq x \leqq 2$ のとき，
$$\displaystyle m_{f}=f(-x)=-\frac{1}{2}x^{2}-1$$
$x\leqq -2$ のとき，$$m_{f}=f(2)=2x+1$$
また，$g(t)$ の最大値 $M_{g}$ は
$0\leqq x$ のとき，
$$
M_{g}=g(2)=2x+1
$$
$x \leqq 0$ のとき，
$$
M_{g}=g(-2)=-2x+1
$$
以上から，$y$ は
$$
m_{f}\leqq y \leqq M_{g}
$$
だからその範囲を図示する。