解説
$n$ 個のさいころを振り，その目の和 $S(n)$ が $m$ を法として，$k (0\leqq k \leqq m-1)$ である確率を $p_{m}(k,n)$ と表す。
$m=2$ のとき，$S(n)\equiv0,1 \pmod{2}$ であるときに，$n+1$ 個目のさいころの目がそれぞれ，2,4,6または1,3,5であれば，$S(n+1)\equiv 0 \pmod{2}$ となるから
$$
p_{2}(0,n+1)\\
=\frac{1}{2}(p_{2}(0,n)+p_{2}(1,n))\\
=\frac{1}{2}(p_{2}(0,n)+1-p_{2}(0,n))\\
=\frac{1}{2}
$$
また，1つのさいころを振るとき，$S(1)=1,2,3,4,5,6$であるから，$\displaystyle p_{2}(0,1)=\frac{1}{2}$.
よって
$$
p_{2}=\frac{1}{2}
$$
以下では，$m\geqq3$ のときに $p_{m}<\frac{1}{2}$ を示す。
$\bmod{m}$ において，その値は周期 $m$ で循環しているから，法を $m$ として，ある値 $k$ となるようなさいころの目は，多くても2つである。よって
$$
p_{m}(k,1)\leqq \frac{1}{3} (0\leqq k \leqq m-1)
$$
であり $n=1$ のとき
$$
p_{m}\leqq \frac{1}{3}