KOTAKE杯001没問②

問題文

三角形$ABC$の内心を$I$とし直線$AI$と三角形$ABC$の外接円の交点のうち$A$でないものを$M$, 直線$AM$と$BC$の交点を$D$，$A$から $BC$への垂線の足を$H$とすると$AD=4, BH=DM=2 $であった. このとき$CD$の長さは正の整数$a,b$を用いて$\sqrt{a} -b$と表せるので，$ a+b$を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形$ABC$があり外心を$O$とする．直線$BO$と$AC$の交点を$D$とおくと$BC＝BD，DO＝5，AD＝6$であったので$AB$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

(1+i)^2を計算してください。

解答形式

半角で入力してください。

問題文

5進数で表された[2024]を2進数で表せ。

解答形式

数字のみでOK

問題文

AB=ACなる二等辺三角形ABCにおいて、点Aから下ろした垂線の足をD、三角形ABCの外心.垂心をそれぞれO.Hとする。
AH:HD=119:25、OH=138、BC=480のとき、
ABの長さを求めよ。

解答形式

半角で回答して下さい。

問題文

中心が$O$の円と線分$AB$の二つの交点のうち$A$から近い順に$C,D$とすると
$BO=11，CO=7，AC=CD=DB$ であった.
このとき三角形$ABO$の面積の$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

正方形と正三角形を組み合わせた図のような図形について, 青で示した角の大きさを求めてください.

解答形式

0以上180未満の整数を半角数字で解答してください。
ただし度数法で、単位を付けずに解答してください。

問題文

正方形・正三角形・円を組み合わせた以下の図について、$x$で示した角の大きさを求めてください。

解答形式

半角数字で、0以上180未満の整数を解答してください。
「度」や「°」などの単位を付けないよう注意してください。

問題文

図の条件の下で、青で示した角の大きさを求めてください。

解答形式

解答を度数法で表し、0以上180未満の数値を半角数字で解答してください。
単位（"度・°"など）はつけないでください。

問題文

2つの正方形が図のように配置されています。赤と青の面積の差が$11$のとき、紫と橙の面積の差を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

正方形に図のように線を引きました。外側の正方形の一辺が10のとき、青で示した部分の面積を求めてください。

解答形式

解答は自然数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を半角数字で解答してください。

問題文

$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$，外心を $O$ とする．直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし，直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると，以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき，線分 $AI$ の長さは，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．