B

Furina 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2024年11月4日23:30 正解数: 10 / 解答数: 11 (正答率: 90.9%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「FFMC001」の問題です。

全 11 件

回答日時 問題 解答者 結果
2024年11月5日19:51 B natsuneko
正解
2024年11月5日9:15 B katsuo_temple
正解
2024年11月5日8:27 B choco+
正解
2024年11月5日0:43 B Tehom
正解
2024年11月5日0:25 B arararororo
正解
2024年11月5日0:21 B uran
正解
2024年11月5日0:19 B uran
正解
2024年11月5日0:16 B uran
正解
2024年11月5日0:15 B uran
正解
2024年11月5日0:15 B noer
正解
2024年11月5日0:03 B noer
不正解

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C

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3

問題文

円 $\Gamma$ に内接する凸四角形 $ABCD$ において,直線 $AB,CD$ の交点を $S$,$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $T$ とします.$S,C,D,T$ がこの順に並んでおり,かつ,
$$AB=10,SC=16,TD=5,BC\cdot AD=32$$
が成立しているとき,線分 $SB$ の長さを求めてください.ただし求める長さは,正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.

解答形式

半角数字で入力してください。

A

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問題文

垂心を $H$ とする鋭角三角形 $ABC$ において,直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると,
$$BH=2,CH=7,DH=1$$
が成り立ちました.このとき,三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください.

解答形式

半角数字で入力してください。

N3

orangekid 自動ジャッジ 難易度:
5月前

12

問題文

整数$x, y, z$は$0<x<28,0<y, 0\leq z<20$ と $37x-13y=2z$ を共に満たします。このような整数の組$(x,y,z)$はいくつあるでしょう?

解答形式

半角数字で入力してください。

E

Furina 自動ジャッジ 難易度:
5月前

6

問題文

円 $\Omega$ があり,その周上に点 $P, Q$ があります.いま,$\Omega$ の弧 $PQ$ 上に $2$ 点 $A, B$ を,$P, A, B, Q$ がこの順にあるように取り,線分 $PQ$ 上に点 $C$ を取ると,三角形 $ABC$ の外接円は辺 $PQ$ に接しました.いま,$CQ$ の中点を $M$ とすると,$BM, AQ$ は三角形 $ABC$ の外接円上で交わったのでこの点を $R$ とします.いま,三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $PQR$ の外接円の $R$ でない交点を $S$ とするとき,
$$AS=4, AP=2\sqrt{21}, BC=7$$
が成立しました.このとき,$BQ$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{c}$ と表せるので,$a+b+c$ を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

D

Furina 自動ジャッジ 難易度:
9日前

3

問題文

$AB=2,AC=1$ をみたす三角形 $ABC$ の垂心を $H$,内心を $I$,外接円を $\Gamma$ とします.直線 $AH$ と $BI$ の交点を $D$ とし,$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $X$ とすると,$AX=BX$ となりました.このとき,辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください.ただし,求める値は,互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表されるので,$a\times b\times c$ を解答してください.

解答形式

半角数字で入力してください。

D

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10

問題文

4次方程式 $x^4-4x^3-21x^2-8x+4=0$ の4つの相異なる実数解を,小さいものから順に $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ とします.このとき,以下の値を求めてください:

$$\displaystyle\frac{1}{a_{1}^2-a_{1}a_{2}+a_{2}^2}+ \displaystyle\frac{1}{a_{3}^2-a_{3}a_{4}+a_{4}^2} $$

解答形式

互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ を求めてください.

F

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11

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について,$\angle A$ (内角) の二等分線と $BC$,円 $ABC$ の交点をそれぞれ $D, M(\neq A)$,$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $E$,$AC$ の中点を $N$,円 $ENC$ と円 $ABC$ の交点を $X(\neq C)$,円 $XMD$ と $BC$ の交点を $P(\neq D)$,$PM$ の中点を $Q$ とします.
$$AB=9, AC=14, QN=8$$
であるとき,$BC$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ と表せるので,$a+b+c$ を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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縦4列、横4行の16マスのうち、いくつかに色を塗ります。塗られるマスの数が列ごとに相異なり、行ごとに相異なる(但し、列と行で塗られる数が一致しても良い)、場合、塗り方は何通りありますか?

解答形式

半角数字で入力してください。

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問題文

四角形$ABCD$があります.線分$AC$上に点$P$を,線分$BP$上に点$Q$を,線分$DP$上に点$R$を取ります.直線$AQ$と線分$BC$,直線$CQ$と線分$AB$,直線$AR$と線分$CD$,直線$CR$と線分$AD$の交点をそれぞれ$S,T,U,V$とします.
$$\triangle BSA=(四角形BSPT)+8=\triangle BCT+12
\\\\\triangle AUD =30,\triangle CDV=25$$
が成り立つとき四角形$DVPU$の面積を求めてください.

解答形式

求める値は互いに素な自然数$p,q$を使って$\cfrac{q}{p}$と表されるので$p+q$の値を答えてください.

(変更 2024/6/27 ヒントを変えました.解説を未正解者も見れるように変更しました.)

N1

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14

問題文

次の方程式の整数解を求めよ。
ただし、$p, q$は非負整数である。
$$
x^2-15x+3^p-2^q=0
$$

解答形式

半角数字で小さい順につなげて入力してください。
例 $x=-4,-1,0,3,4$の時 -4-1034

N2

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17

問題文

$17$で割り切れ、各桁の数の和も$17$で割り切れるような正整数を$\textbf{良い数}$と呼びます。$\textbf{相異なる}$良い数同士の差の絶対値としてあり得る最小値を求めなさい。

追記

不備が見つかったため、答えを変更しました。本当に申し訳ございません。

求値問題8

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4

問題文

共通部分を持たない2円と、その共通接線があります。図中の同じ色で示した線分の長さが等しいとき、2円の半径比を求めてください。

※図は正確でないことに注意

解答形式

大円の半径を$R_1$、小円の半径を$R_2$とすると、$R_1:R_2=\fbox ア:\fbox イ$です。文字列 アイ を解答してください。
例:$R_1:R_2=5:2$ であれば 52 と解答