第1回琥珀杯　大問3

問題文

正三角形$ABC$の内部の1点$P$は、$AP=5,BP=4,CP=3$を満たす。この正三角形の面積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数$a,b$と平方因子をもたない正整数$c$、及び正整数$d$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}+d$と表せるので、$a+b+c+d$を解答してください。

問題文

円$O_1,O_2,O_3$は点$O$を中心とする同心円で、この順に半径が小さい。円$O_1,O_2,O_3$の周上に、それぞれ点$A,B,C$をとるとき、$△ABC$の内部または周上に点$O$が含まれる確率を求めよ。

解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。

問題文

正整数$n$の値を無作為に定めるとき、$\sqrt{n}^\sqrt{n}$が有理数となる確率を求めよ。

解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。

解答形式

a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。
(例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合
→1 2 3 4 5

問題文

アルファベット $9$ 文字 $A, I, K, M, N, O, R, S, U$ には相異なる $1$ 以上 $9$ 以下の正整数が入ります．

を満たすとき，$A, I, K, M, N, O, R, S, U$ は一意に定まるので，これを順に解答してください．

解答形式

カンマやスペースなどを入れず，半角数字のみで解答してください．
例えば，$A=1, I=2, \ldots, U=9$ のとき，$123456789$ のように解答してください．

問題文

$N, E, K, O$ には，$1$ 以上 $9$ 以下の相異なる正整数が入ります．
$$
N\times{E}\times{N}\times{E}\times{K}\times{O}=K\times{O}\times{N}\times{E}\times{K}\times{O}
$$を満たすとき，$N+E+K+O$ としてあり得る値の最大値と最小値の積を求めてください．

解答形式

答えは正整数になるので，半角数字で解答してください。

問題文

方程式 $x^2 - 77\left\lfloor x \right\rfloor + 55\lceil x \rceil + 57 = 0$ の実数解の $2$ 乗の総和を解答してください．

備考

高校生時代(2016年)の作問のリメイクです.

問題

次の式を計算しなさい。

$$
\frac{(28^{2}+28-27^{2}+27)^{2}}{5!^{2}}-(\frac{11}{12})^{2}
$$

問題文

いま，「飛翔の武神・真田幸村」「覚醒のネコムート」「大狂乱のネコライオン」(以降真田・ムート・ライオンと表記)がおり，$3$ キャラが同じ距離をそれぞれ一定速度で移動します．最初，$3$ キャラは真田，ライオン，ムートの順に速く，真田とライオンの所要時間の差と，ライオンとムートの所要時間の差の比は $6:5$ でした．しかし，ムートの本能が解放され，移動速度が $10$ 上がると，真田，ムート，ライオンの順に速くなり，真田とムートの所要時間の差と，ムートとライオンの所要時間の差は $11:10$ になりました．
　このとき，本能解放後のムートの速度としてあり得る最小の正整数値を求めてください．
　ただし，他のキャラの速度も正整数値であるとします．

解答形式

答えは正整数値となるので，半角数字で解答してください．

問題文

$AD$ と $BC$ が平行であるような等脚台形 $ABCD$ において，$AB, BC, CD, DA$ の中点を $K, M, N, O$ ，$AC$ と $BD$ の交点を $E$ としたとき，以下が成り立ちました．
$$
MO=24　NE=\dfrac{\sqrt{1115}}{2}　KO=20
$$このとき，四角形 $NEKO$ の面積としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

答えは正整数になるので，半角数字で解答してください．

問題文

にゃんこ大戦争には，$10$ 体の基本キャラが存在します．そのキャラを図鑑と同じ順番で，$1, 2, \ldots , 10$ と番号を付けます．今、$1$ 番のキャラ(ネコ)が $512$ 体一列に並んでおり，以下の操作を $511$ 回行います．

• 番号がともに $n$ である隣り合う $2$ 体を選び，その $2$ 体を取り除いて番号が $n+1$ であるキャラを同じところに $1$ 体入れる．

最終的に，番号が $10$ であるキャラ(ネコ超人)が残るような、操作の行い方(順番)は $N$ 通りあります．$N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．

解答形式

答えは正の整数値になるので、それを半角数字で解答してください。

問題文

自然数$a,b,c,d$は
$$
a\neq b
$$ $$
(a+b)(a-b)+(ad-bc)=0
$$ $$
bc-a^2=1
$$
を満たしています.このとき
$$
\frac{c-d}{a-b}
$$
の取り得る値を全て求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.複数ある場合は小さい順に一行ずつ入力してください.
Ex:答えが「1」と「-$\frac{3}{89}$」と「100」のとき
-3/89
1
100
と解答してください.