$AB=1$の正十二角形$ABCDEFGHIJKL$がある。$KD$と$CJ$、$AF$と$DK$、$AF$と$DI$、$DI$と$EJ$、$AH$と$EJ$、$AH$と$CJ$の交点を、それぞれ$M,N,O,P,Q,R$とする。六角形$MNOPQR$の面積を求めよ。
互いに素な正整数$a,b,c$及び平方因子をもたない正整数$d$を用いて、$\frac{b−c\sqrt{d}}{a}$と表せます。$a+b+c+d$を解答してください。
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円$C_1:x^2+(y−\sqrt{6})^2=2$及び円$C_1$と$x$軸について対称な円$C_2$をとる。さらに、2点$(0,\sqrt{6}−\sqrt{2}),(0,−\sqrt{6}+\sqrt{2})$を通り$x$軸に垂直で、原点を中心とする円$C_3$をとり、円$C_2$の中心を通り$xy$平面に垂直な直線を$l$とする。円$C_3$を直線$l$周りに$360°$回転させてできる立体の体積を求めよ。
正整数$a,c,e$と平方因子をもたない正整数$b,d$を用いて$(a\sqrt{b}−c\sqrt{d})π^e$と表せるので、$a+b+c+d+e$を解答してください。
交わらない$2$円$O_1,O_2$は直線$m$に同じ側で接しており、その反対側に交わらない$2$円$O_3,O_4$が直線$m$に接している。円$O_x(x=1,2,3,4)$の半径を$x$、直線$m$との接点を$P_x$とすると、点$P_1,P_4,P_2,P_3$がこの順に並んだ。$P_1P_4=P_2P_3=5,P_2P_4=3$のとき、四角形$O_1O_2O_3O_4$の面積を求めよ。
純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。 正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。 $$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$ 必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103, 0.47712<\log_{10}3<0.47713$$ を用いてよい。
$10^{n^n}$を$998$で割った余りが$512$となる最小の自然数$n$を求めよ。
0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。 数字の重複を許すとき、7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。 ただし、a=0の場合も認めます。 (似た問題を投稿しています。解答する場所を間違えないように注意してください。)
互いに素な正整数p,qを用いてp/qと表せるため p+qを解答してください。
0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。 数字の重複を許さないとき、7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。 ただし、a=0の場合も認めます。
互いに素な正整数q,pを用いて p/q と表せるため、p+qを解答してください。
$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。
半角数字で解答して下さい。
四角形ABCD、四角形GHCFはそれぞれ正方形で、1辺の長さはそれぞれ10cm、4cmです。また、DCとFC、BCとHCはぴったり重なっているとする。また、四角形IBKJは長方形で、IJは2cm、IBは4cmとし、ABとIB、BCとBKはぴったり重なっているとする。更に、AJとDGの延長とBCとの交点をEとし、Gを通りΔADEの面積を2等分する線とADとの交点をP、Jを通りΔADEの面積2等分する線と、ADとの交点をRとする。さらにPGの延長とBCとの交点をQ、RJとABとの交点をSとする。PGとRJの交点をOとする。四角形OJEQの面積を求めよ。
分数は/で表してください。 例)2分の9は 9/2 で表す。
$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.
すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。
$AB≠AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の内心を$I$とする。三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接している。$D$を通り$EF$に垂直な直線と$\omega$の交点のうち,$D$でない方を$G$とし,直線$AG$と$\omega$の交点のうち,$G$でない方を$H$とする。さらに,三角形$BHF$と三角形$CHE$の外接円の交点のうち,$H$でない方を$J$とし,直線$HJ$と直線$DI$の交点を$X$とすると以下が成立した。 $$ DX=\sqrt{1122} AH||DX DG=22 $$ このとき,$AX^{2}$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので,$a+b$の値を解答して下さい。
98x^2+190x-312を因数分解せよ。
$N=9000^2\times 9001$ とし, 以下の条件を満たす整数の組の列 $(x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1) ,\dots,(x_{N},y_{N},z_{N})$ を良い列 と呼びます.
このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.