第2回琥珀杯　B

交わらない$2$円$O_1,O_2$は直線$m$に同じ側で接しており、その反対側に交わらない$2$円$O_3,O_4$が直線$m$に接している。円$O_x(x=1,2,3,4)$の半径を$x$、直線$m$との接点を$P_x$とすると、点$P_1,P_4,P_2,P_3$がこの順に並んだ。$P_1P_4=P_2P_3=5,P_2P_4=3$のとき、四角形$O_1O_2O_3O_4$の面積を求めよ。

問題文

円$C_1:x^2+(y−\sqrt{6})^2=2$及び円$C_1$と$x$軸について対称な円$C_2$をとる。さらに、2点$(0,\sqrt{6}−\sqrt{2}),(0,−\sqrt{6}+\sqrt{2})$を通り$x$軸に垂直で、原点を中心とする円$C_3$をとり、円$C_2$の中心を通り$xy$平面に垂直な直線を$l$とする。円$C_3$を直線$l$周りに$360°$回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答形式

正整数$a,c,e$と平方因子をもたない正整数$b,d$を用いて$(a\sqrt{b}−c\sqrt{d})π^e$と表せるので、$a+b+c+d+e$を解答してください。

$10^{n^n}$を$998$で割った余りが$512$となる最小の自然数$n$を求めよ。

問題文

純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。
正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。
$$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$
必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103,　0.47712<\log_{10}3<0.47713$$
を用いてよい。

問題文

0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許すとき、十進表記された7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。
(似た問題を投稿しています。解答する場所を間違えないように注意してください。)

解答形式

互いに素な正整数p,qを用いてp/qと表せるため
p+qを解答してください。

問題文

0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許さないとき、十進表記された7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。

解答形式

互いに素な正整数q,pを用いて
p/q と表せるため、p+qを解答してください。

問題文

接点・共通領域を持たない円A,Bがあり，これらの中心を通る直線lとの交点をP,Q,R,Sとします．(P≠Q≠R≠S)
　但しP,QがAの円周上，R,SがBの円周上にあり，P,Q,R,Sの順に並ぶとします．

またPS,QRの長さをそれぞれa,bと置きます．

この時A,Bの共通内接線の長さが2025となるような(a,b)の組として考えられるものは何通りありますか．

解答形式

答えだけ(答えが1通りなら"1"だけ)を半角数字で解答して下さい．

問題文

SKG学院では,5×5のマス目を使い,とあるゲームが行われている.
ゲームのルールは以下である.
・お客さんと生徒がじゃんけんをする.勝った方が先手,負けた方が後手となる.
この時,あいこは考えないものとする.
・先手は黒の碁石,後手は白の碁石を,マスの上に交互に置いていく.
・同じマスには碁石は一つまでしか置けない.
・マス目が全て埋まった時,各行について次の条件を満たすものを特別な行と呼び,その個数を数える.
特別な辺：ある行の5マスを見た時,お客さんが置いた碁石の個数が偶数個であるもの.
・特別な行の個数が偶数であればお客さんの勝ち,奇数であれば生徒の勝ちとなる.

お客さんが勝つ確率をA,お客さんが勝つ時の碁石の置き方の総数をBとする.
A×Bの値を求めなさい.
但し,回転して重なるような碁石の置き方は区別しないとする.

解答形式

半角数字で入力して下さい.

問題文

次を満たすような正整数の組 $(x,y,z)$ をすべて求めてください．
$$2^x+9^y+2025=2009^z-65-28$$

解答形式

簡単な証明をお書き下さい．

問題文

$gcd(x,y,z)＝1$を満たす$x,y,z$について、 $x^2+y^2, y^2+z^2, z^2+x^2 $がすべて正の整数の平方となるとき、次の問いに答えよ。
(1) $x,y,z$ のうち、奇数であるものの個数は高々1つであることを示せ。
$x $を奇数、 $y, z$ を4の倍数とする。
(2) $y=44 $のとき、上記の条件を満たす正の整数$ x, z $の組を全て求めよ。

解答形式

(1)は簡潔な証明
(2)は答えだけで構いません

問題文

$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

問題文

チェス盤(8*8)に8つのルークを置く。
このとき、どのルークもほかのルークの利きに置いてはいけない。
このような条件を満たすルークの置き方(回転、鏡像は別とみなす)の場合の数を求めよ。

解答形式

半角数字でお答えください。