キショ因数分解（中学〜高校？）

問題文

以下の条件を満たすような正整数$a,b,c$が存在するので,そのような$a,b,c$の組を$1$つ答えてください.
・ある奇素数$p$,正整数$N$が存在し,ある正整数$n$が存在して$a^n+b^n+c^n$が$p$で割り切れ,かつ任意の正整数$n$に対して$a^n+b^n+c^n$は$p^N$で割り切れない.

解答形式

$(a,b,c)$と,この組に対して条件を満たす$p$を$1$つ用いて「$(a,b,c)$、条件を満たす$p$は～～」というように解答してください.

得点について

・誤答の場合$0$点.多少の書式の違いは認めます.

・正答の場合,$p_k$を$k$番目に小さい奇素数としたときに任意の$k=1,2,...s$に対して「ある正整数$N$が存在し,ある正整数$n$が存在して$a^n+b^n+c^n$が$p_k$で割り切れ,かつ任意の正整数$n$に対して$a^n+b^n+c^n$は$p_k^N$で割り切れない.」が成り立つような$s$の参加者全体中の最大値を$x$,あなたの解答に対する値を$y$としたとき$\dfrac{100y}{x}$以上の整数の内最小のものをあなたの得点とします.ただしこの値が$0$に等しい場合は$1$点とします.

・複数の提出があった場合は最後の提出のみを判定します.

問題文

以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。
$$
x^{y}=y^{x-y}
$$

解答形式

半角数字で解答して下さい。

問題文

点の定義は次をチェック(https://pororocca.com/problem/2047/)
$円X,X',ω$に接する円の内,小さい方の円$T'$の半径を求めよ.

解答形式

答えは互いに素な整数$a,b,c,d$で,$\frac{a+b√c}{d}$と書けるので,$a+b+c+d$を求めて下さい.但しd>0.
尚,半角で打ち込むこと.

問題文

半径$15$の円$ω$について,ある直径$AB$を考える.
$AB$を三等分する点を順に$P,Q$とし(つまり$A・P・Q・B$の順に点が並ぶ),
$AP$を直径とする円$X$を描く.
また,$AB$に直交する直径$CD$について,同様に$R,S$を取り($C・R・S・D$の順),$CR$を直径とする円$X'$を描く.
ここで,円$X$の接線の内,$CD$と平行で且つ円$X'$側のものを直線$F$,円$X'$の接線の内,$AB$と平行で且つ円$X$側のものを直線$G$とする.
直線$F,G,$円$ω$に接する円$T$として考えられるものは$2$つあるが,そのうち小さい方の半径を求めよ.

解答形式

答えは整数$n,m,l$で$n√m+l$と書ける.
$n+m+l$を求めて下さい.
尚,マイナス含め,全て半角で打ち込むこと.

追記

続編(normal)：https://pororocca.com/problem/2048/

問題文

$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

問題文

aiueaiuの７字を並べるとき少なくとも1つの「ai」が「ue」よりも前にあるのは何通りか。

解答形式

例）半角英数字。

問題

解答形式

例）(1)はb√c/aとなるので、a,b,cの値をそれぞれ1,2,3行目に書いてください
⑵はdπ/eとなるので、d,eの値を4,5行目に書いてください

問題文

xy平面上にて、中心が直線y=3x上にあり、直線2x+y=0に接し、点(2,1)を通る円の方程式は(x-a)^2+(x-b)^2=r^2である。
a、b、r^2の値をそれぞれ求めよ。

解答方式

a○b△R□
○△□のところに答えの数字を入力してください。
r^2はRと表記してください。
a=2 b=3 r^2=4の場合
a2b3R4と入力

問題文

三角形$ABC$の内心を$I$，直線$AI$と$BC$の交点を$D$とすると$AI=CI=CD=6 $であった. このとき$AC$の長さは正の整数$a,b $を用いて$ \sqrt{a} +b$と表せるので, $a+b$を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

四角形ABCD、四角形GHCFはそれぞれ正方形で、１辺の長さはそれぞれ10cm、4cmです。また、DCとFC、BCとHCはぴったり重なっているとする。また、四角形IBKJは長方形で、IJは2cm、IBは4cmとし、ABとIB、BCとBKはぴったり重なっているとする。更に、AJとDGの延長とBCとの交点をEとし、Gを通りΔADEの面積を2等分する線とADとの交点をP、Jを通りΔADEの面積2等分する線と、ADとの交点をRとする。さらにPGの延長とBCとの交点をQ、RJとABとの交点をSとする。PGとRJの交点をOとする。四角形OJEQの面積を求めよ。

解答方法

分数は/で表してください。
例）2分の9は　9/2　で表す。

問題文

$AB≠AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の内心を$I$とする。三角形$ABC$の内接円$\omega$は辺$BC,CA,AB$とそれぞれ点$D,E,F$で接している。$D$を通り$EF$に垂直な直線と$\omega$の交点のうち,$D$でない方を$G$とし,直線$AG$と$\omega$の交点のうち,$G$でない方を$H$とする。さらに,三角形$BHF$と三角形$CHE$の外接円の交点のうち,$H$でない方を$J$とし,直線$HJ$と直線$DI$の交点を$X$とすると以下が成立した。
$$
DX=\sqrt{1122}　AH||DX　DG=22
$$
このとき,$AX^{2}$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので,$a+b$の値を解答して下さい。

解答形式

半角数字で解答して下さい。

問題文

$$p、p^2、p^3、p^4$$が10進数表記ですべていい数字となる自然数pは存在するか。
ただし、いい数字とはどの桁も素数であるような自然数のことである。例えば、252、7352のような自然数のことである。

解答形式

存在するならばそのような自然数pを入力してください。存在しないならば、存在しないことを証明してください。(簡単にでいいです。)