JMO2025yo-6?

simasima 自動ジャッジ 難易度: 数学
2025年3月6日19:43 正解数: 3 / 解答数: 7 (正答率: 42.9%) ギブアップ数: 0

問題文

正の実数からなる $2$ つの数列 $a_1,a_2,...$ と $b_1,b_2,...$ があり, 任意の整数 $n$ について以下を満たしている.
$$
(a_{n+1},b_{n+1})=\left(\frac{a_n}{2},b_n+\frac{a_n}{2}\right)または(a_{n+1},b_{n+1})=\left(a_n+\frac{b_n}{2},\frac{b_n}{2}\right)が成立する.
$$
$(a_1,b_1)$ が $(7,11)$ であるとき, $a_{100}$ としてあり得る値の中で $2025$ 番目に小さいものを求めよ.

解答形式

答えの値を $x$ としたとき, $2^{100}x$ の値を解答してください.
参考:$2^{100}=1267650600228229401496703205376$


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$$
\sum^{50}_{x=1}\sum^{100}_{y=31}|a_x-a_y|
$$
コストとしてあり得る最小値はいくつですか?

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非負整数で解答してください。

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マ謔イ魑エッ蟄、迢ャカ蜻ェ諤ィ蠢オ蜻ェ標蜻ェ謔イ魑エ上蜻ェ格諤ィ蠢オに蜻ェ店蟄、迢ャカ蜻ェェ蜻ェチ諤ィ蠢オン店蜻ェす。
諤ィ蠢オの蜻ェ謔イ魑エッ蟄、迢ャカ諤ィ蠢オに諤ィ蠢オ蜻ェ、最蜻ェ近諤ィ蠢オのマ諤ィ蠢オッ諤ィ蠢オカ謔イ魑エと蜻ェ蜻ェ蜻ェ諤ィ蠢オ蜻ェン蟄、迢ャは諤ィ蠢オ蜻ェど $1001$ に蟄、迢ャま蜻ェ。
$x,y$ 蜻ェ標諤ィ蠢オち諤ィ蠢オ $1$ 蜻ェ上 $n$ 以蜻ェで謔イ魑エよ諤ィ蠢オマ蜻ェ蜻ェッ諤ィ蠢オ蜻ェフ諤ィ蠢オ店蜻ェ数諤ィ蠢オ大値蜻ェ $f(n)$ 諤ィ蠢オる蟄、迢ャ全蜻ェ諤ィ蠢オ蜻ェ数 $n$ に蜻ェ謔イ魑エ $cf(n)\geq n^2$ が謔イ魑エ立謔イ魑エ蜻ェ謔イ魑エ負整蜻ェ $c$ 蜻ェ最小蜻ェを蟄、迢ャて諤ィ蠢オさ蜻ェ。

逡ー蟶ク逋コ迴セ

非謔イ魑エ数蜻ェ解諤ィ蠢オて蜻ェ謔イ魑エい。

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解答形式

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注:この問題は全完防止用問題です。この問題を解くには高度な知識が必要かもしれません。

問題文

Aの箱には白い玉が $1500$ 個 黒い玉が $500$ 個入っている。
Bの箱には白い玉が $1000$ 個 黒い玉が $1000$ 個入っている。
Cの箱には白い玉が $800$ 個 黒い玉が $1200$ 個入っている。
次のような操作を順に行う。
(1) Aの箱からランダムにボールを一つ取り出す。
(2) Bの箱からランダムにボールを一つ取り出す。
(3) Cの箱からランダムにボールを一つ取り出す。
(4) A,B,Cそれぞれの箱に残っている黒い玉の個数を $a,b,c$ とした時、$a>b$ または $b>c$ が成立した場合は操作をここで終了する。
(5) 箱に玉が一つも残っていない場合は操作をここで終了する。
(6) 操作が終了しなかった場合 (1) に戻る(取り出したボールは箱には戻さない)
操作が終了した時、箱に玉が一つも残っていない確率を求めてください。

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ を解答してください。