KOTAKE杯004(D)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年3月7日21:00 正解数: 12 / 解答数: 14 (正答率: 85.7%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「KOTAKE杯004」の問題です。

問題文

$AB<AC$の三角形$ABC$があり,内心を$I$,直線$AI$と三角形$ABC$の外接円の交点を$M(≠A)$とする.$∠A$内の傍接円と辺$BC$の共有点を$P$としたとき$4$点$BIPM$は共円であり,$BI=5,BC=11$であった.このとき$IP$の長さは正の整数$a,b$と平方因子を持たない正の整数$c$を用いて,$a−b \sqrt{c}$と表せるので$a+b+c$を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.


スポンサーリンク

解答提出

この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

Discordでログイン Sign in with Google パスワードでログイン

ログインすると? ログインすると、解答・ギブアップをする他に、問題を投稿したり、ランキングで競うことができます。

または


おすすめ問題

この問題を解いた人はこんな問題も解いています

KOTAKE杯004(B)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
2月前

22

問題文

垂心を$H$とする鋭角三角形$ABC$があり
$AB \cdot CH=30,BC \cdot AH=28,CA \cdot BH=26$
が成立したので$AC$の長さの$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯004(C)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
2月前

24

問題文

$∠A$が鋭角であり$AB=AD,BC=CD=7,∠ABC=∠CDA=90°$を満たす四角形$ABCD$がある.線分$AB$,線分$AD$の中点をそれぞれ$M,N$とし,直線$MN$と直線$BC$の交点を$P$とすると$AP=24$であったので$AC$の長さの$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯004(A)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
2月前

24

問題文

$AB<BC$なる鋭角三角形$ABC$があり,$B$から$AC$におろした垂線の足を$D$とし,線分$BC$の中点を$M$とする.三角形$ABC$の外接円上に点$E,F$をとると$4$点$EDMF$はこの順に同一直線上に存在し,$DE=6,MF=8,CD=15$であったので線分$AB$の長さの$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

PGC005 (D)

pomodor_ap 自動ジャッジ 難易度:
6月前

18

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について,$C$ を通り $B$ で直線 $AB$ に接する円 $\gamma$ と線分 $AC$ の $C$ でない交点を $D$,$D$ を通り $A$ で直線 $AB$ に接する円 $\omega$ と $\gamma$ の $D$ でない交点を $E$ とします.いま,三角形 $ABC$ の外心を $O$ とすると,$$OD=OE, DE=2, BC=11$$ が成り立ちました.線分 $AC$ の長さの二乗を求めてください.

F

Nyarutann 自動ジャッジ 難易度:
3月前

16

問題文

鋭角三角形 $ABC$ において,辺 $BC, CA, AB$ 上(端点除く)に点 $P, Q, R$ をとると,四角形 $AQPR$ は円 $\omega$ に内接し,点 $P$ で辺 $BC$ に接しました.点 $A$ における円 $\omega$ の接線と,直線 $BC$ の交点を $S$ とします.また,$AS$ と$QR$ の交点を $T$ ,$AP$ と $QR$ の交点を $U$ ,$AC$ の中点を $M$ ,円 $\omega$ の中心を $O$ とすると,以下が成り立ちました.

  • $\angle{CAT}=90$ °
  • $CO=20$
  • $SU$ は $\angle{ASP}$ の角の二等分線
  • $MO=2$

このとき,$AB$ の長さは,互いに素な正整数 $a, b$ と,平方因子をもたない正整数 $c$ を用いて,$\dfrac{a\sqrt{c}}{b}$ と表されるので,$a+b+c$ の値を解答してください.

解答形式

答えは正整数になるので,半角数字で解答してください.

KOTAKE杯005(D)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
13日前

15

問題文

$AB=5, AC=8, \angle A=60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について,外接円の $A$ を通らない弧 $BC$ の中点を $M$ とする.相異なる $4$ 点 $P,Q,B,C$ がこの順で同一直線上に並び,$\angle APB:\angle MPB=\angle AQB:\angle MQB=3:1$ が成立した.線分 $PQ$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
Writer: pomodor_ap

KOTAKE杯005(C)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
13日前

21

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり, $B$ から $AC$ への垂線の足を $D$ とし,重心を $G$ ,垂心を $H$ とする.このとき $4$ 点 $B,C,G,H$ は共円であり$AD=3,CD=5$であったので, $AB$ の長さの $2$ 乗を解答せよ.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
Writer: MrKOTAKE

PGC005 (C)

pomodor_ap 自動ジャッジ 難易度:
6月前

33

問題文

$AB=5, AC=7$ なる三角形 $ABC$ について,$A$ から $BC$ に下ろした垂線と円 $ABC$ の交点を $D(\neq A)$,$BC$ の中点を $M$ とします.$\angle AMD=90^{\circ}$ であるとき,$BC$ の長さの四乗を求めてください.

bMC_G

bzuL 自動ジャッジ 難易度:
10月前

19

問題文

$1,\ldots,2024$ の並べ替え $a_1,\ldots,a_{2024}$ に対して,スコア
$$
\sum_{k=1}^{2024} (2024a_k-k-1)(a_k-2024k)
$$
で定めます.$2024!$ 通りの並べ替えに対して,スコアとしてあり得る値はいくつありますか.

解答形式

半角数字で解答してください.

bMC_F

bzuL 自動ジャッジ 難易度:
10月前

18

問題文

ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が,その三角形の頂点のうちの一つと,その三角形の外心,垂心を通りました.この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

KOTAKE杯001(R)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
9月前

24

問題文

外心を$O$とする三角形$ABC$があり線分$BC$上に点$D$をおくと以下が成立した.
$AD=CD,BD-CD=15,OB=24,OD=9$
このとき$AB$の長さを解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

KOTAKE杯001(Q)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度:
9月前

23

問題文

$AB=15,AC=24$の鋭角三角形$ABC$があり内心を$I$,垂心を$H$とすると
$4$点$BCHI$は同じ円 $Γ$上にあった.このとき円 $Γ$の半径の長さの$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.