$6$ 個のチームが総当たり戦をおこなう．つまり，各チームは他のチームとそれぞれ $1$ 回ずつ試合をおこない勝敗を決める．ただし，各試合において引き分けはなく，いずれが勝つかは等確率であるとする．
このとき，$3$ 勝 $2$ 敗のチームがちょうど $3$ チームできる確率を求めよ．
答えは互いに素な自然数 $\eta,\zeta$ を用いて $\displaystyle\frac \eta\zeta$ と表されるので，$1$ 行目に $\eta$ を，$2$ 行目に $\zeta$ を記して答えよ．
ヒント1
$n$ を $2$ 以上の整数とし，$n$ 個のチーム $\mathrm A_1,\mathrm A_2,\cdots,\mathrm A_n$ が総当たり戦をおこなったときの勝敗結果をまとめたものを集計結果と呼ぶことにする．$k=1,2,\cdots,n$ に対し，チーム $\mathrm A_k$ の勝ち数を $a_k$ とし，
$\ (a_1,a_2,\cdots,a_n)=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$
であるような集計結果の総数を $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ で表すことにする．
例えば $n=3$ のとき，$(a_1,a_2,a_3)=(1,1,1)$ となる勝敗結果は，各試合の勝敗について
$(\mathrm i)\ \mathrm A_1$ と$\mathrm A_2$ は $\mathrm A_1$ の勝ち，$\mathrm A_2$ と $\mathrm A_3$ は $\mathrm A_2$ の勝ち，$\mathrm A_3$ と $\mathrm A_1$ は $\mathrm A_3$ の勝ち
$(\mathrm{ii})\ \mathrm A_1$ と$\mathrm A_2$ は $\mathrm A_2$ の勝ち，$\mathrm A_2$ と $\mathrm A_3$ は $\mathrm A_3$ の勝ち，$\mathrm A_3$ と $\mathrm A_1$ は $\mathrm A_1$ の勝ち
となる $2$ 通りが考えられるので，$f(1,1,1)=2$ である．
このとき，次の問いを考えよ．
$(1)$ $a_1+a_2+\cdots+a_n$ を求めよ．
$(2)$ 一般に $n\geqq2$ において
$\ f(x_1,x_2,\cdots,x_n,n)=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$
$\ f(x_1,x_2,\cdots,x_n,0)=f(x_1-1,x_2-1,\cdots,x_n-1)$
が成立する．これがなぜか考察せよ．
$(3)$ $f(5,3,3,3,1,0)$ を求めよ．
ヒント2
さらに，例えば
$\ f(3,3,2,1,1)=f(2,2,1,1)+f(3,1,1,1)+2\,f(3,2,1,0)$
などが成立する．これがなぜか考察せよ．
