非負整数 $n$ に対して, $a_n$ を以下で定めます.$$a_0=1,\quad a_{n+1}=10a_n+4$$ このとき, $a_n$ が累乗数となるような非負整数 $n$ に対して, $a_n$ の総和を求めてください. ただし, 累乗数とは, 自然数 $a$ と$2$ 以上の自然数 $b$ を用いて $a^b$ と表せる数です.
例)整数を答えてください.
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正整数 $n$ に対して $n^{10n}$ を $31$ で割ったあまりを $f(n)$ としたとき, $$\sum_{k=1}^{12000} f(k)$$ の値を求めてください.
半角英数字で回答してください.
$56076923$ の素因数の総和を求めてください. ただし, 重複する素因数は異なるものとして考えます.
例)非負整数を答えてください.
$3^{2025}$を $11$ で割った余りを求めよ。
半角左詰め
$自然数Xについて、Xの各位の数字を足し合わせた値をk(X)とおく。$ $4桁の自然数A,Bにおいて$$$ \begin{eqnarray} \frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}=n \end{eqnarray} $$$ (nは2以上の整数)$ $のとき、Aの取りうる値は何個あるか。$ 半角数字のみで答えよ
各桁の数字が $3,7,5,6,4$ のいずれかであるような正の整数をエグい数と呼ぶことにする。$5$ 桁のエグい数であって、$5^5$ の倍数であるものを $1$ つ求めよ。
なお、本問では $10$ 進法を用いている。
半角数字のみで1行目に入力せよ。 $10$ 進法で答えること。
$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。
半角数字で入力してください。
✕✕
$n$を$2025$以下の正整数とする。 ある$n$について、$(n^{2}+n+1)(n^{3}+n^{2}-2n)$がもつ素因数$2$の個数を$d(n)$で表す。 $d(n)=1$となるような$n$の個数を求めよ。
$p=3, \quad q=5, \quad r=7$
$X = p^q + q^p$ $Y = q^r + r^q$ $Z = r^p + p^r$
$N = X^p + Y^q + Z^r$
このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。
$1$ 以上 $8$ 以下の数が $8$ 個あります.$8\times 8$ の白いマス目に,$8$ 個の数を棒グラフとして黒で書き込むことにしました.このとき,このマスから $2\times 2$ の正方形を切り取りとる方法のうち,黒マスがちょうど $2$ マスである方法の数を最初の $8$ 個の数のスコアと呼ぶことにします.$8$ 個の数の選び方 $8^{8}$ 通り全てに対してのスコアの総和を答えてください.
末尾に「(通り)」などをつけず,非負整数で答えてください.
素数 $p$ を用いて表される整数 $p-4, p^2-6, p^3-26$ が全て素数となるような $p$ の総和を求めよ。
算用数字で解答してください。
$11$ 個の実数 $A_0 , A_1 , \cdots , A_{10} $ が $n=0 , 1 , \cdots , 9$ に対して$$\sum_{k=0}^{10}{A_kk^n}=0$$を満たします. $A_0=1$ のとき, $\sum_{k=0}^{10}{A_kk^{10}}$ の値を求めてください. ただし, $0^0=1$とします.
非負整数を答えてください.