PDC008.5 (G)

一次関数が(p＋q)を満たすとき

y=1/2x＋(p＋q)がx＋(p＋q)＝１２を満たすとき、xの値を求めなさい。ただし、xは自然数であるものとする。

解答形式

数字は全角で入力してください。

問題文

円に内接する四角形 $ABCD$ について，線分 $AC$ はその直径をなす．線分 $BD$ の中点を $M$ とすると $AM=AD, BD=12, CD=13$ が成立した．線分 $BC$ の長さの二乗を求めよ．

問題文

角 $C$ が直角となるような三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に点 $D$ をとると，角 $DAC:$ 角 $BAD=1:2$，$AD$ の長さは $3 \mathrm{cm}$，$AB$ の長さは $5 \mathrm{cm}$ となりました．このとき，$BD:DC$ を求めてください．ただし，求める比は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せるので $a+b$ の値を解答して下さい．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

四角形 $ABCD$ について，線分 $BD$ 上に点 $E$ を取ると，$AE=BD$ で，角 $EAD=$ 角 $AED=$ 角 $EBC=$ 角 $BCE=40°$ が成り立ちました．このとき角 $BDC$ は何度ですか？

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

任意の正の整数 $m, n(m\leq n)$ について $\displaystyle |\sum_{i=m}^{n} a_i| \leq 2$
が成り立つような整数列 $a_i (i\geq 1)$ について，$(a_1, a_2, …, a_{100})$ としてありうる組は $N$ 個存在する．$N$ を素数 $97$ で割った余りを求めよ．

訂正: 「非負整数列」と誤りがありましたが，正しくは整数列です．申し訳ありません．

【補助線主体の図形問題 #115】
　今週の図形問題です。今回は重めの問題にしてみました。とはいえ、補助線が活躍するのはいつも通りです。じっくり腰を据えて挑戦してください！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

素数の組 $(p, q, r, s, t)$ について
$$\dfrac{p^4 + q^4 + r^4 + s^4 + t^4 + 340}{8}$$ としてありうる最小の素数値を求めよ．

問題文

四角形 $ABCD$ について，角 $DBC=20°$，角 $BDC=90°$，角 $ADB=40°$，$AD:BC=1:2$ が成り立ちました．このとき角 $ABD$ は何度ですか？

解答形式

半角数字で解答して下さい．

問題文

九点円中心を$N$とする鋭角三角形$ABC$において，$BN$と$AC$の交点を$P$，$CN$と$AB$の交点を$Q$とする.直線$AC$に関して$B$と対称な点を$B'$，直線$AB$に関して$C$と対称な点を$C’$とし，$B'Q$と$C'P$の交点を$X$とするとき，以下が成立しました.$$\angle BAX=\angle NAX　\tan\angle ACB=\frac{5}{6}　AB=10$$このとき，三角形$ABC$の面積を求めて下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

問題

$a,b$ を実数とする．$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ は $f(1/2)\cdot f(1/3)=4$ を満たしている．$f(2)+f(3)$ としてありうる最小の正の整数値を求めよ．

【補助線主体の図形問題 #109】
　今週の図形問題です。今回はシンプルな見た目だけに、補助線が大いに活躍します。その分というわけではありませんが、計算は重めです。ぜひじっくりとお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題

$1$ 以上の整数 $n$ について関数 $f(n)$ は以下の式により定義されます．$$f(n)=\sum_{k=1}^{2n}\prod_{m=0}^{2^9}(k-m)$$ このとき，$f(n)=0$ の成り立つ $n$ の総和は，素数 $p$ と整数 $m$ を用いて，$pm$ と示せるので，$p+m$ の最小値を回答してください．
　ただし，素数表:https://onlinemathcontest.com/primes は用いても構いません．

解答形式

非負整数で回答してください．