解説
(1),(2),(4)については調べれば出てくるような有名な問題なので解説は省きます。
(3)自然数 $n$ について、$n$ が 5 の倍数でないとき、$\cos(n^\circ)$ は無理数であることを示せ。
(2)より$cos36°$,$cos72°$は無理数である。
また、 $cos144°=cos(180-36)°=-cos36°$,$cos108°=cos(180-72)°=-cos72°$ より $cos144°$,$cos108°$も無理数である。
以上より、整数 $n$ を用いて、
$36(5n+1)°,36(5n+2)°,36(5n+3)°,36(5n+4)°$ の余弦は無理数である-①
ここで、$36(5n+1)$ の正の約数 $x$ について $cosx°$ が有理数であると仮定する。
(1)より、$x$ 整数倍である $cos36(5n+1)°$ が有理数となるが①に矛盾。つまり$cosx°$ は無理数
$36(5n+2),36(5n+3),36(5n+4)$ でも同様にすると、$36(5n+1),36(5n+2),36(5n+3),36(5n+4)$ で表されるような数の正の約数 $x$ について$cosx°$は無理数である。
以上より5の倍数でない自然数は$36(5n+1),36(5n+2),36(5n+3),36(5n+4)$のいずれかの約数で、自然数 $n$ について $n$ が5の倍数でないとき、cos(n°)は無理数である。
(5) $0<n<90$ を満たす自然数 $n$ について、$\cos(n^\circ)$ が有理数となる $n$ はいくつ存在するか。
(3)より$n$が5の倍数のときのみ考えれば良い。
$cos150°$が無理数であることから $n$ が整数のとき $cos30(6n+5)°$ は無理数
(3)と同様に、$30(6n+1)$ の正の約数 $x$ について $cosx°$ も無理数
ここで$A = 30×5×7×11×13×17$ について考える
以下 $mod6$ とする。
$5≡-1,7≡1,11≡-1,13≡1,17≡-1$より$5×7×11×13×17≡-1≡5$
よって$A=6n+5$とあらわせ、$30(6n+5)$ の約数であり、この余弦は無理数とわかる。
また、この約数である $5,10,15,25,30,35,50,55,65,70,75,85$の余弦は無理数。
$cos45°$ が無理数、$cos60°$ は有理数であることから、残りの$20,40,80$のみ考える。
ここで$cos60° = 1/2$より、$x = cos20°$とすると、
$cos60° = cos(3×20)° = 4x^{3}+3x = 1/2$ 変形して
$8x^{3}+6x -1 = 0$
ここで(4)よりこの3次式の有理数解の候補は $±1,±1/2,±1/4,±1/8$ であるがどれを代入しても成り立たない。
つまりこの3次式は有理数解をもたない。よって $cos20°$ は無理数。
$cos120°=1/2,cos240°=-1/2$ であることから同様にして $cos40°,cos80°$ は無理数。
以上より、$0<n<90$ を満たす自然数 $n$ について、$\cos(n^\circ)$ が有理数となる $n$ は $n=60$ の一つである。