解説
(1),(2),(4)については調べれば出てくるような有名な問題なので解説は省きます。
(3)自然数 $n$ について、$n$ が 5 の倍数でないとき、$\cos(n^\circ)$ は無理数であることを示せ。
(2)より$cos36°$,$cos72°$は無理数である。
また、 $cos144°=cos(180-36)°=-cos36°$,$cos108°=cos(180-72)°=-cos72°$ より $cos144°$,$cos108°$も無理数である。
以上より、整数 $n$ を用いて、
$36(5n+1)°,36(5n+2)°,36(5n+3)°,36(5n+4)°$ の余弦は無理数である-①
ここで、$36(5n+1)$ の正の約数 $x$ について $cosx°$ が有理数であると仮定する。
(1)より、$x$ 整数倍である $cos36(5n+1)°$ が有理数となるが①に矛盾。つまり$cosx°$ は無理数
$36(5n+2),36(5n+3),36(5n+4)$ でも同様にすると、$36(5n+1),36(5n+2),36(5n+3),36(5n+4)$ で表されるような数の正の約数 $x$ について$cosx°$は無理数である。
以上より5の倍数でない自然数は$36(5n+1),36(5n+2),36(5n+3),36(5n+4)$のいずれかの約数で、自然数 $n$ について $n$ が5の倍数でないとき、cos(n°)は無理数である。