$1000$ の正の約数の集合を $D$ とします.また,$999$ 次方程式
$$x^{999}+x^{998}+\dots+x+1=0$$
の $999$ 個の解を $x=x_1,x_2,\dots,x_{999}$ とします.このとき,
$$\sum_{d\in D}^{}\sum_{s=1}^{999} x_s^d$$
の値を求めてください.
答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.
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$2$ 以上の整数 $n$ のうち,次の条件を満たすものはいくつありますか?
$13$ の倍数である $9$ 桁の正整数であって,上 $3$ 桁の整数も上 $6$ 桁の整数も $13$ の倍数であるようなものはいくつありますか?
$26$ 種類あるアルファベットの大文字からなる文字列に対し,次のようにして整数を対応付けます.
例えば,文字列 $CAT$ は,$C$ が $3$ 番目,$A$ が $1$ 番目,$T$ が $20$ 番目のアルファベットであるから $3120$ となります.このように,ある文字列に対応付けられる整数は一意に定まります. いま,ある文字列に対応付く整数が $12012311821$ となりました.元の文字列として考えられるものはいくつありますか?
答えは非負整数値となるので,それを半角で入力してください.
ある正の実数 $k$ があり,$x$ についての $4$ 次多項式 $f(x)$ を
$$f(x)=x^4+4kx^3+3kx^2+2kx+k$$
と定めます.方程式 $f(x)=0$ は相異なる $4$ 個の複素数解を持ったのでそれらを $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ とし,さらに $x$ についての $4$ 次多項式 $g(x)$ を,$4$ 次の項の係数が $1$ であり,かつ方程式 $g(x)=0$ が $4$ 個の複素数解 $\dfrac{1}{\alpha},\dfrac{1}{\beta},\dfrac{1}{\gamma},\dfrac{1}{\delta}$ を持つように定めます. $g(6)=2025$ であるとき,$k$ の値を求めてください.
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
以下の条件をすべて満たすような正整数 $n$ はいくつありますか?
$n$ は $3$ の倍数である.
$2$ 進法で表記した $n$ はちょうど $15$ 桁の数で,そのうち $5$ つの桁の数字が $0$ である.
$n$ を $3$ 以上の奇数とします.いま,円に内接する凸 $n$ 角形 $P_1P_2\dots P_n$ があり,$k=1,2,\dots,n$ について角 $P_k$ の大きさを ${a_k}^{\circ}$ としたところ,
$$\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}a_{2k}=7777$$
が成立しました.このとき,度数法での角 $P_1P_2P_n$ の大きさとして考えられる値の総和を解答してください.
三角形 $ABC$ について,重心を $G$ ,線分 $AB$ の中点を $M$ ,線分 $AC$ の中点を $N$ とし,直線 $AG,MN$ の交点を $P$ としたとき,四角形 $BGPM$ の面積が $2025$ となりました.三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
正の整数 $n$ について,$f(n)$ で $n$ の正の約数であり,$n$ の最小の素因数を素因数に持たないようなもののうち最大のものを表す.例えば,$f(2\times 3^2)=3^2, f(2\times 3\times 5)=3\times 5$ である.ただし,$f(1)=1$ と扱う. また,$g(n)$ で $n$ の正の約数 $d$ すべてについて $f(d)$ の総和を表す. このとき, $$g(2\times 3\times 7\times 11\times 13\times 17)-g(5\times 7\times 11\times 13\times 17)$$ を求めよ.
以下の式を満たす正の整数の組 $(m,n)$ 全てについて,$m + n$ の総和を求めてください.
$$(mn - 1)^2 + (m + n)^2 = 650$$
正整数で答えてください.
nmoon君は黒板に $60$ の正の約数を一つずつ全て書き込みます.そして,以下の操作をできなくなるまで行います.
全ての操作が終了したとき,黒板に書かれた数の総和としてあり得る値の総和を求めてください.
$0$ 以上 $1$ 以下の実数 $a_{1} , a_{2} , a_{3}$ について,以下の値の最大値を求めてください.
$$a_{1} + 2a_{2} +3a_{3} +4\sqrt{a_{1}(1-a_{1}) + a_{2}(1-a_{2}) + a_{3}(1-a_{3})}$$
求める値を $M$ としたとき,$10000M$ の整数部分を解答してください.
横一列に並んだ $14$ 個のオセロの石があります.そして,以下の操作を何度か行い,黒面を向いた石の個数をできるだけ少なくします.
全ての操作の終了後に黒面を向く石の個数を スコア とします.最初の石の配色は $2^{14}$ 通りありますが,これら全ての場合においてスコアの総和を求めてください. 但し,オセロの石は,片方が黒面で,もう片方が白面であるとする.