ABC(G)

atawaru 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年9月28日21:00 正解数: 20 / 解答数: 36 (正答率: 55.6%) ギブアップ数: 2
この問題はコンテスト「ABC(Atawaru Beginner Contest)」の問題です。

問題文

$1000$ の正の約数の集合を $D$ とします.また,$999$ 次方程式

$$x^{999}+x^{998}+\dots+x+1=0$$

の $999$ 個の解を $x=x_1,x_2,\dots,x_{999}$ とします.このとき,

$$\sum_{d\in D}^{}\sum_{s=1}^{999} x_s^d$$

の値を求めてください.

解答形式

答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.


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$2$ 以上の整数 $n$ のうち,次の条件を満たすものはいくつありますか?

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解答形式

答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.

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解答形式

答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.

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例えば,文字列 $CAT$ は,$C$ が $3$ 番目,$A$ が $1$ 番目,$T$ が $20$ 番目のアルファベットであるから $3120$ となります.このように,ある文字列に対応付けられる整数は一意に定まります.
いま,ある文字列に対応付く整数が $12012311821$ となりました.元の文字列として考えられるものはいくつありますか?

解答形式

答えは非負整数値となるので,それを半角で入力してください.

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ある正の実数 $k$ があり,$x$ についての $4$ 次多項式 $f(x)$ を

$$f(x)=x^4+4kx^3+3kx^2+2kx+k$$

と定めます.方程式 $f(x)=0$ は相異なる $4$ 個の複素数解を持ったのでそれらを $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ とし,さらに $x$ についての $4$ 次多項式 $g(x)$ を,$4$ 次の項の係数が $1$ であり,かつ方程式 $g(x)=0$ が $4$ 個の複素数解 $\dfrac{1}{\alpha},\dfrac{1}{\beta},\dfrac{1}{\gamma},\dfrac{1}{\delta}$ を持つように定めます.
$g(6)=2025$ であるとき,$k$ の値を求めてください.

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.

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解答形式

答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.

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$n$ を $3$ 以上の奇数とします.いま,円に内接する凸 $n$ 角形 $P_1P_2\dots P_n$ があり,$k=1,2,\dots,n$ について角 $P_k$ の大きさを ${a_k}^{\circ}$ としたところ,

$$\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}a_{2k}=7777$$

が成立しました.このとき,度数法での角 $P_1P_2P_n$ の大きさとして考えられる値の総和を解答してください.

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答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.

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答えは非負整数値となるので,それを半角で解答してください.

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このとき,
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正整数で答えてください.

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全ての操作が終了したとき,黒板に書かれた数の総和としてあり得る値の総和を求めてください.

解答形式

正整数で答えてください.

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  • 連続して並んだ $4$ 個の石を選んで,左から $1,2,4$ 個目の石を全て裏返す.

全ての操作の終了後に黒面を向く石の個数を スコア とします.最初の石の配色は $2^{14}$ 通りありますが,これら全ての場合においてスコアの総和を求めてください.
 但し,オセロの石は,片方が黒面で,もう片方が白面であるとする.

解答形式

正整数で答えてください.