問題8

n以下の全ての自然数の集合Sの部分集合Tは次を満たした。
・Tの任意の要素x,yについて、xyはTに含まれない。
nに対するTの要素数の最大値をf(n)とする。
このとき、ある人は命題Qnを唱えた。
「Tの要素数がf(n)となるTは1つしかない」
Qnが偽となる2025以下のnの総和を求めよ。

3つの空箱がある。次のルールで2人で交互に石を箱に入れる。
・どちらかの行動を行う
　・1つの箱に1つ石を入れる。
　・既に石が入っている1つの箱に、今入っている個数の石をその箱に入れる
(つまり、石の個数が倍になる)
・ただし、既に箱にN個以上入っている場合はこれ以上石を入れられない

全ての山の石の個数をそれぞれN以上にした方が勝ちである。後手必勝となる2025以下のNの総和を求めよ。

どの4頂点を選んでもそれが閉路にならない、800頂点の単純平面グラフの辺の数の最大値を求めよ。

24×24の方眼紙に色を塗る。使う色は、ビリジアン、エメラルド、ライムである。
色を塗った後、方眼紙の上下をねじらずに丸めて繋げると筒状になり、さらに筒の端同士をねじらずに丸めて繋げるとトーラスになる。このとき、どのマス目に対しても次の条件を満たした。

・自身のマスに隣り合う4マスのうち、斜めに繋がっていない2マスを選ぶと、必ずどちらかが自身と同じ色で、どちらかが自身と異なる色である
・任意の2×2の正方形内の色に関して、同じ色で隣り合っている2マスが存在しなければ、正方形内に3種類の色が存在する

あり得る塗り方は何通りあるか。但し、方眼紙を回転させて一致するものは異なるものとして数える。

ボール100個をランダムに20人に分ける。10人が1組の生徒で、10人が2組の生徒である。ボールが全く貰えない人がいてもよい。全てのボールは区別できず、分け方は$ _{119}C_{19}$通りあるが、それぞれの分け方は同様に確からしい。
1組の生徒のうち、それぞれの持つボール数の総積をポイントとする。ポイントの期待値は互いに素なA,Bで$\frac{A}{B}$と表せるので、A+Bを解答せよ。

$S=$$\{$$\sqrt{1},\sqrt{2},\dots,\sqrt{n} $$\}$の部分集合であって、次を満たすものの個数をmとする。
・要素が3つ
・どの2つを選んでも、2つの比の値が有理数となる

n=mとなるnを全て求め、その総和を求めなさい。

2種類のお菓子A、Bがそれぞれ24個ずつある、これをX, Y, Zの3人で余りなく分けることにした。ここで、ある人が1個ももらわないお菓子の種類があってもよい、X、Y、Zの3人のうちに、以下の条件をみたす2人が存在しないような分け方は何通りありますか。

条件:2人のうち1人はAをa個、Bをa'個もらい、もう1人はAをb個、Bをb'個もらうとき、a≤a'かつb≤b'かつa+b<a'+b'が成り立っている。

次のグラフにおいて、毎ターン1つの線分上を駒が移動するとき、初期位置を点Pとして、1024ターン後に駒が点Pに戻るとき、駒の移動のやり方としてあり得るものの総数を1007で割った余りを求めよ。

N×Nのマス目にNこの駒を置くと、ある面積N以上の長方形のエリアで、エリア内に駒が存在しないものは存在しなかった。このような駒の配置方法の総数をf(N)として、$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty } f( i)$を計算して下さい。

Sを0以上10以下の自然数の集合として、
P君は、xy座標平面$S^2$の盤面上で、スタートからゴールへ移動する。xが増加する方向が右で、yが増加する方向が上である。6種類の点が存在する。
スタート…(0,0)で、P君が可能な動きはバイオレットと同じである。
ゴール…(10,10)
ネイビー…スタート、ゴール以外の点について、xがyの倍数なら(x,y)はネイビーであり、xがyの倍数でないなら(x,y)はネイビーでない。P君はネイビーに移動できない。
バーミリオン…P君がこの点にいるとき、P君は1つ上へ移動するか、2つ右、1つ下に飛んで移動することができる。
バイオレット…P君がこの点にいるとき、P君は1つ右へ移動するか、2つ上、1つ左に飛んで移動することができる。
アイボリー…P君はアイボリーに移動できない。アイボリーは全部で5個存在する。

ただし、P君が移動して座標平面$S^2$から飛び出てはいけない。
全ての$S^2$に含まれる点のうち、スタート、ゴール、ネイビー以外の点に自由にバーミリオン、バイオレット、アイボリーのいずれかを塗ることができ、その盤面AについてP君がスタートからゴールに行く方法の総数をF(A)とする。
F(A)の最大値をXとし、
全ての盤面Aについて、F(A)の総和をYとし
Yを10007で割った余りをZとして、XとZの10進法における文字列の結合を求めよ。

問題文

$x>1 , y>1$で、
$α = log_4 x , β = log_8 y $ と定める。 $2α + 3β =2 $ のとき、$x+y $ のとりうる最小の値を求めよ。

問題文

太郎君は次のルールで行動する：
前日に花子さんで抜いた場合、次の日に抜く確率は$\frac{1}{5}$
前日に花子さんで抜かなかった場合、次の日に抜く確率は$\frac{2}{3}$
今日花子さんで抜かなかったとき$n$日後に抜く確率を$P_n$とする。
$n \to \infty$のときの$P_n$を、小数点5位を四捨五入して、小数点4位まで求めよ。

解答形式

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