SPRC001[M]

問題文

$x$ に関する $2028$ 次方程式
$$x^{2028}-x^{2026}-3x^{1000}+3x^{998}-5x^2+5=0$$ の重複を含めた $2028$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2028}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{2028}\alpha_k^{2026}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $7$ 次方程式
$${x^7+x^6+x^5+x^4+3x^3+3x^2+3x+3=0}$$ の重複を含めた $7$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_7$ とします．
$${S_n=\sum_{k=1}^{7}\alpha_{k}^{n}}$$ とするとき，以下の値を求めてください．
$${\prod_{n=1}^{8}\frac{S_{n+4}+S_{n+5}+S_{n+6}+S_{n+7}}{S_n+S_{n+1}+S_{n+2}+S_{n+3}}}$$ ただし，${S_n+S_{n+1}+S_{n+2}+S_{n+3}}$ が $n=1,2,...,8$ の範囲で $0$ にならないことが証明できます．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

いずれも $0$ でない $4$ 個の複素数 $x,y,z,w$ が
$$x+y+z+w=30$$ $$x^2+y^2+z^2+w^2={30}^2-2$$ $$x^3+y^3+z^3+w^3=30^3$$ $$x^4+y^4+z^4+w^4=2026$$
を満たします．このとき，$xyzw$ の値を求めてください．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $100$ 次方程式
$${x^{100}-20x^2+26x+2026=0}$$ の重複を含めた $100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{100}\alpha_{k}^{98}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $12$ 次方程式
$${x^{12}-12x^{11}+66x^{10}-220x^{9}+...+66x^2-12x+1\left(=\sum_{n=0}^{12}{}_{12}C_n(-x)^n\right)=2}$$ の $12$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{12}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{12}\alpha_{k}^{15}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $100$ 次方程式
$$x^{100}+x^{98}+x^{96}+...+x^4+x^2+2026=0$$ の重複を含めた $100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします． $$S_n=\sum_{k=1}^{100} \alpha_k^n$$ とするとき，以下の値の絶対値を求めてください．
$$\sum_{n=1}^{100} {S_n}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $6$ 次方程式
$${x^6+3x^5+9x^4+27x^3+81x^2+243x+2026=0}$$ の重複を含む $6$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_6$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{6}\alpha_{k}^{14}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $2$ 次方程式
$${x^2+3x+9=0}$$ の $2$ つの複素数解を$\alpha,\beta$ とします．
$${S_n=\alpha^n+\beta^n}$$ とするとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$${\prod_{n=1}^{243}S_n}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $4$ 次方程式
$${x^4+4x^3+6x^2+8x-2357=0}$$
の重複を含めた ${4}$ 個の複素数解を ${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4}$ とします．以下の値を求めてください．

$${\sum_{k=1}^{4} (\alpha_{k}+1)^4}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $243$ 次方程式
$${x^{243}+3x^{242}+5x^{241}+...+485x+487\left(=\sum_{m=0}^{243}(2m+1)x^{243-m}\right)=243}$$ の重複を含めた $243$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{243}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{243}\alpha_k^{243}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $n$ 次方程式 $(n \ge 1)$
$${x^n+nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}+...+n!\left(=\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{P}_{n-k} x^k\right)=0}$$ の重複を含めた $n$ 個の複素数解を $\alpha_{n,1},\alpha_{n,2},...,\alpha_{n,n}$ とし，これらが $1$ でないことが証明できるので，
$${g(m)=\prod_{n=1}^{m}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\alpha_{n,k}-1}\right)}$$ とします．以下の値を求めてください．
$$\frac{g(2025)g(2026)}{g(2025)+g(2026)}$$

解答形式

求める値は整数になるので，それが $3$ で割り切れる最大の回数を解答してください．

問題文

$1,2,...,102$ の並び替え $\sigma=(\sigma(1),\sigma(2),...,\sigma(102))$ について，多項式 $F_{\sigma}$ を
$${F_{\sigma}=x^{200}+x^{199}+\sum_{m=1}^{102}m\sigma(m)x^{m-1}}$$ で定めます．$x$ に関する $200$ 次方程式
$$F_{\sigma}=0$$ の重複を含めた $200$ 個の複素数解を $\alpha_{\sigma_1},\alpha_{\sigma_2},...,\alpha_{\sigma_{200}}$ とし，
$$\sum_{k=1}^{200}\alpha_{\sigma_k}^{100}$$ の値を $\sigma$ のスコアとします． このとき，$\sigma$ としてありうるもの $102!$ 通りすべてについてのスコアの平均値を求めてください．

解答形式

整数で解答してください．