全問題一覧

3つの空箱がある。次のルールで2人で交互に石を箱に入れる。
・どちらかの行動を行う
　・1つの箱に1つ石を入れる。
　・既に石が入っている1つの箱に、今入っている個数の石をその箱に入れる
(つまり、石の個数が倍になる)
・ただし、既に箱にN個以上入っている場合はこれ以上石を入れられない

全ての山の石の個数をそれぞれN以上にした方が勝ちである。後手必勝となる2025以下のNの総和を求めよ。

平面上の (0,0)から (7,7) まで，次の 2 つの条件をともに満たしながら格子点上を移動する方法は何通りありますか

・格子点 (x,y) にいるとき，次に移動できる格子点は
(x+1,y),(x,y+1) のいずれかである
・移動の途中で (0,0) でない格子点 (t,t) を通過した場合，格子点
(2t,2t) を通過することはできない
(1≦t≦3,tは整数)

n以下の全ての自然数の集合Sの部分集合Tは次を満たした。
・Tの任意の要素x,yについて、xyはTに含まれない。
nに対するTの要素数の最大値をf(n)とする。
このとき、ある人は命題Qnを唱えた。
「Tの要素数がf(n)となるTは1つしかない」
Qnが偽となる2025以下のnの総和を求めよ。

問題文

$\omega$ を $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ でないものの一方とします．
$$S={\sum_{k=1}^{2026} \frac{1}{k^2+(2\omega+1)k-1}}$$
としたとき，$\left|\frac{S-1}{S}\right|$ を求めてください．

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ を解答してください．

問題文

$a,b$ を実数とする．$1$ 以上の実数 $k$ に対し，$x,y$ についての連立方程式

$$
\begin{cases}
k\cos x + \dfrac{1}{k}\sin y = a\\[6pt]
k\sin x + \dfrac{1}{k}\cos y = b
\end{cases}\
$$

が $0\le x\le\pi,\ 0\le y\le\pi$ の範囲に解をもつような点 $(a,b)$ の存在する領域を $D_k$ とし，$ab$ 平面における $D_k$ の面積を $S(k)$ とする．

(1)　$D_1$ を $ab$ 平面上で求めよ．また，$S(1)$ を求めよ．

(2)　$\displaystyle \pi<\lim_{k\to\infty}S(k)<2\pi$ を示せ．

(3)　連立方程式の解がさらに $x=y$ を満たすような点 $(a,b)$ の存在する領域を $E_k$ とする． $k$ が $1$ 以上のすべての実数値をとるとき，$E_k$ が通りうる範囲を $ab$ 平面上で求めよ.

解答形式

特に指定しません。

問題文

$a,b$ を正の整数とする．$2$ 以上の整数 $n$ に対して $n=ab$ と表せるような $(a,b)$ の組について，$a+b$ の最小値を $f(n)$ とする．
例えば, $f(5)=6,\ f(12)=7$ である．

(1)　$n$ を正の整数とする．$f\bigl(2\cdot 3^{n}\bigr)$ を $n$ を用いて表せ．

(2)　$a,b$ を正の整数とする．方程式
$$
f\bigl(2\cdot 3^{a}\bigr)=f\bigl(4\cdot 3^{b}\bigr)
$$の解が存在するかどうかを，理由を付けて判別せよ．存在するならば、その解を全て求めよ。

解答形式

特に指定しません。

問題文

ある演算子⭐︎を次のように定める。
$$
a⭐︎b=ab+a+b
$$
このとき、$x$についての方程式$x⭐︎(x+2)=-1$を解きなさい。

解答形式

「$x=$」の形から始めること。

問題文

以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=0}^{2026} \frac{k^2}{k^2-2026k+1013×2026}$$

解答形式

整数で解答してください

問題文

$1$ 以上 $10^7$ 以下の $11$ の倍数全てに対して，それぞれの各位の和の総和を求めてください．

問題文

$2024!$ 以上の正整数 $n$ のうち，$\dfrac{2025!}{n}$ の小数部分が $\dfrac{2025!-67}{2025!}$ より大きいものの個数を求めてください．

問題文

左右 $3$ 列，上下 $3$ 行からなる $9$ 個のマス目があり，左から $1$ 列目かつ上から $2$ 行目にあるマス目を $S$ とする。
また，$1$ 辺の長さがマス目の $1$ 辺の長さと等しく，向かい合う $2$ つの面が黒色に塗られた立方体を $C$ とする。

最初，マス目 $S$ に $C$ の黒色の面が完全に重なるように $C$ を置く。そして操作 (＊) を次のように定める。

(＊)　$C$ が置かれているマスに隣り合うマス（斜めに隣り合うマスは除く）のうちどれか $1$ つを無作為に選び，
そのマスに $C$ の側面が完全に重なるように，$C$ の $1$ 辺を軸にして $C$ をたおす。

$n$ を正の整数とする。操作 (＊) を $n$ 回行ったとき，マス目 $S$ に $C$ の黒色の面が完全に重なっている確率を $p_n$ とする。
$$
\lim_{n\to\infty} p_{2n}
$$を求めよ。

解答形式

半角数字・記号で解答。

問題文

実数係数 $10$ 次多項式 $f(x)$ は以下を満たしている．
$$f(0)=2025$$$$f(1)=25$$

$f(x)=0$ の（重複度を込めた）$10$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}$ とする．
$\frac{1}{\alpha_1},\frac{1}{\alpha_2},...,\frac{1}{\alpha_{10}}$ を根にもつ実数係数 $10$ 次多項式のうち，最高次の係数が $1$ であるものを $g(x)$ としたとき，$g(1)$ を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください