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問題文

f(θ)=−cotθ(1+cot⁻²θ)cos²θsinθ{tanθ−(4sin²θ+4cos²θ)(sinθcosθtanθcotθ)}⇔f(θ)=sinxθである。
xの値を(x-1)進数で表せ。

解答形式

いきなり答えはNG。途中式も最小限必ず書く。

問題文

a+b+c+d= 0 , ad = bc , (b^2+c^2+d^2)/a -a = 4 であるとき、dをaを使って表せ。（ただし、b,cは使ってはならない。また、d>0である。）

解答形式

d=○○と書くこと。ただし、ルートを使う場合は√○○と書きなさい。また、n乗の場合は○○^nと書くこと。（コピー推奨）

(p+1)^m-p^n=1を満たす
素数p,自然数m,nの組み全て求めよ

記述形式です。

問題文

$p$を正の実数の定数とする。定数でない多項式$f$が次を満たすとき、$f(1)$の値の最大値$M$と最小値$m$を求めよ。

条件:任意の実数$q$に対し、$|q-r|≦p$をみたす実数$r$が存在し、$f(f(q))=f(r)$を満たす。

解答形式

$M+m$の値を$1$行目に半角で入力してください。不要な小数点などはつけないでください。(例:2.0、3.1400などは×)

問題文

以下の等式を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ。解答する際は、解答形式を参照すること。

$$
\left\lfloor \sqrt{x} \, \right\rfloor + \left\lceil \sqrt{x} \, \right\rceil = x
$$

ただし、実数 $x$ に対して $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数をいう。

解答形式

答えを小さい順に並び替え、半角数字で一つずつ改行で区切って答えてください。
末尾に改行はあってもなくても構いませんが、各行にスペース等は入れないでください。

例）答えが $-1,8,9,10$ のとき

-1
8
9
10

と解答してください。

問題文

$11$ 個の実数 $A_0 , A_1 , \cdots , A_{10} $ が $n=0 , 1 , \cdots , 9$ に対して$$\sum_{k=0}^{10}{A_kk^n}=0$$を満たします. $A_0=1$ のとき, $\sum_{k=0}^{10}{A_kk^{10}}$ の値を求めてください.
ただし, $0^0=1$とします.

解答形式

非負整数を答えてください.

問題文

$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$n$を正整数、$p$を素数とする。
$n^{2}+p$が$4$で割り切れるような組$(n$、$p)$は無限に存在することを示せ。

解答形式

証明をお願いします。

問題文

$x$、$y$、$n$を正整数、$p$を$n$以上の素数とする。
$$x^{p}-y^{p}=p^{n}$$
を満たすような組($x$、$y$、$n$、$p$)は存在しないことを示せ。

解答形式

証明をお願いします。

問題文

実数から実数への関数$f$であって任意の実数$x$、$y$について$$f(x)+f(f(y)+x)=f(f(x))+4y$$
が成り立つようなものを全て求めよ。

解答形式

簡単でいいので証明もお願いします。

問題文

チェス盤(8*8)に8つのルークを置く。
このとき、どのルークもほかのルークの利きに置いてはいけない。
このような条件を満たすルークの置き方(回転、鏡像は別とみなす)の場合の数を求めよ。

解答形式

半角数字でお答えください。

3回テストをして、それぞれの点数が、70点、65点、x点でした。これらの平均点を、文字を使った式で表しなさい。