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1.
半径 $r$ の円 $ \mathrm{O}\ $があり、この円の周上に定点 $ \mathrm{A}\ $ がある。点 $ \mathrm{A}\ $ における円 $ \mathrm{O}\ $の接線を $l$ とする。円 $ \mathrm{O}\ $ 上を動く点 $ \mathrm{P}\ $ に対し、点 $ \mathrm{P}\ $ から直線 $l$ に下ろした垂線の交点を $ \mathrm{H}\ $ とする。
(1) $\mathrm{AP}^{2}\ $を $r$ と $ \mathrm{AH}\ $ を用いて表せ。
(2) $k$ を定数とする。 このとき ${\mathrm{AP}^{2}=k\cdot \mathrm{AH}}$ が成り立つことを示せ。
(3)${\triangle \mathrm{APH}}$の面積を $ \mathrm{AH}\ $ を用いて表せ。また、点 $ \mathrm{P}\ $が円 $ \mathrm{O}\ $上を動くとき、${\triangle \mathrm{APH}}$ の面積が最大となる点 $ \mathrm{P}\ $の位置を求めよ。
2.
座標平面上に2点$ \mathrm{A}(1,0)$, $\mathrm{B}(0,1)$ がある。$(0\le \theta \le \frac{\pi }{2}) $の範囲を動く点 $\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ) $を考える。
(1) $\triangle \mathrm{ABP}$ の面積を $\theta $ を用いて表せ。
(2) $\triangle \mathrm{ABP}$ の面積の最大値を求めよ。
(3) $\triangle \mathrm{ABP}$ が直角三角形となるような $\theta $ の値をすべて求めよ。
(4) $\triangle \mathrm{ABP}$ の重心 $ \mathrm{G}$ の軌跡を求めよ。
3.
二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ を考える。ただし、(a,b,c) はすべて奇数である整数とする。このとき、この二次方程式の解が無理数であることを証明せよ。
4.
数列 ${{a_{n}}}$は、${a_{1}=1}$ であり、すべての自然数 $n\ $に対して $${a_{n+1}=\frac{2a_{n}+3}{a_{n}+2}}$$を満たすものとする。
(1) ${{a_{n}}}$ の一般項を求めよ。
(2)すべての自然数 $n\ $に対して、${a_{n}<\sqrt{3}}$ であることを示せ。
(3) ${|a_{n}-\sqrt{3}|<\frac{1}{2^{n-1}}(\sqrt{3}-1)}$ が成り立つことを示せ。
5.
$a,b$を正の実数とする。楕円 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\ $上の点 $\mathrm{P}(x_{0},y_{0})(x_{0}>0,y_{0}>0) $における接線を $l$とする。接線 $l$と $x$ 軸、および$y$軸で囲まれる三角形の面積を $S$ とする。
(1) 点 $\mathrm{P}$が楕円上を動くとき、面積 $S$ の最小値を $(a,b)$ を用いて表せ。
(2) 楕円の焦点の1つを $\mathrm{F}\ $とし、$\mathrm{F}\ $と接線 $l$との距離を $d$ とする。この時、$d$の最大値と最小値を $(a,b)$ を用いて表せ。
(3) 焦点 $F$ から接線 $l$ までの距離を$d_{1}$、もう1つの焦点 $F^{\prime }\ $から接線 $l$ までの距離を$d_{2}$とする。このとき、 $d_{1}d_{2}$ は常に一定であることを示せ。また、その値を$(a,b)$ を用いて表せ。
問題文
以下が成り立つ正の整数の組 $(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2)$ のうち，$a_1$ が最小であるようなものの中で，$b_2$ が最も小さいようなものは一意に定まるので，それについて $a_1a_2a_3b_1b_2$ を解答せよ．
- $a_1\geq a_2\geq a_3, b_1\geq b_2$
- $a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2$
- $b_1!b_2!$ は $a_1!a_2!a_3!$ で割り切れる．
- $a_1 = b_1 + 4$
問題文
正の整数について定義され（正とは限らない）整数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の整数 $m,n$ について
$$f(mn)=f(m)^2+f(m)f(n)-f(1)$$
を満たすものについて，$(f(1), f(2), …, f(100))$ としてありうる組はいくつ存在するか？
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，直線 $AH$ と $BC$，$BH$ と $AC$ の交点をそれぞれ $D,E$ とし，線分 $BC$ の中点を $M$ とする．四角形 $BDHP$ が長方形となるように点 $P$ を取ると $\angle APM=90^{\circ}, AE=3, EC=8$ が成立するとき，線分 $AD$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
問題文
$3\times 1000$ の $2$ つのマス目 $A,B$ があり，これらの $6000$ マスのうち $0$ 個以上に印をつける．印の付け方であり，以下を満たす方法は $N$ 通り存在する．$N$ が $2$ で割り切れる回数を解答せよ．
- $A$ または $B$ から取り出せる $2\times 2$ の部分マス目（連結成分）であり，印のついたマスの個数が $1$ または $3$ であるようなものを $M$ とすると，$M\geq 1998$ である．
問題文
$1\leq a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5\leq 100$ をみたす整数の組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ すべてについて，次の値の総和を求めよ．
$$\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\frac{a_4}{4}+\frac{a_5}{5}$$
問題文
数列{$a_{n}$}を次の条件により定める。
$$
a_{1}=a_{2}=1,
a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n}=0
(n=1,2,3,...)$$
これについて、次の問いに答えよ。
$(1)$ $a_{3}$を求めよ。
$(2)$ $a_{2025}$を求めよ。
$(3)$ $\sum_{n=1}^{2025}\quad{a_{n}}$を求めよ。
解答形式
答えのみを半角算用数字で答えてください
例えば(1)の答えが3、(2)の答えが100、(3)の答えが80のときは、
3,100,80
のように答えてください。
問題文
$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とし，頂点 $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．また，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $AEF$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $K$ とします．ここで，線分 $EF$ 上の点 $S$ を $\angle SHO = 90^{\circ}$ となるように取ると，以下が成り立ちました．
$$ KS : SH : HD = 21 : 9 : 8 \sqrt{5} , \quad DK = 20 $$ このとき，線分 $BC$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．
解答形式
正の整数を半角で解答．