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数学問題

$a,x,y,z$をそれぞれ異なる自然数とし、$x>y>z$とする。
この時$$a^{2}=\frac{xyz(xyz±\sqrt{(x^{2}+y^{2})(x^{2}-z^{2})(y^{2}-z^{2})}}{(y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}-x^{2}y^{2})}\\$$を成り立たせる$a,x,y,z$の組はあるか。

解答形式

ある場合はその組を答え、ない場合はその証明をしてください。

${}$　単語を並び替え、スペースを詰めてしまった英文形式のクイズ「QuizShuffleConcatenateAnd」第4問です。定時投稿にあたっていろいろと試しているところです。準備ができるまでしばしお待ちください。
　解くにあたって辞書やネット検索はご自由にどうぞ。

解答形式

${}$　元に戻した英文に日本語で答えてください。今回は「漢字で2文字」です。

例題

inhighestwhatjapantheismountain
　　　　　↓　↓　↓
${}$　これを元に戻すと
What is the highest mountain in Japan?
となるので、答えは「富士山」となります。

問題文

$x~$についての方程式
$$x^4-3x^3+2x^2-3x+1=0$$
を考える．次の問いに答えなさい．ただし，1/6公式，1/30公式については証明なしに用いてよい．

$(1)~$この方程式の複素数解をすべて求めなさい．

$(2)~(1)$で求めた4つの解について，次の(ルール)に従って座標平面上に点を取ることを考える．

(ルール)　方程式の解が$~a+bi~$の形であらわされるとき，座標平面上に点$(a,b)$をとる．解が実数のときは$~b=0~$とみなす．たとえば，解が$~3-2i~$ならば，座標平面上に点$(3,-2)$をとる．

このルールに従って$(1)$の結果に基づいて4つの点を取り，そのうち$~y~$座標の値が最小のものを除いた3点をすべて通る放物線と$~x~$軸で囲まれた領域$~A~$の面積$~S~$を求めなさい．

$(3)~$領域$~A~$を$~x~$軸周りに1回転させてできる立体の体積$~V~$を求めなさい．

解答の際の注意

出題者ジャッジにより採点をします．
簡単に求める過程も示してください．
解説の内容に誤りがあればご指摘ください．

問題文

$$\frac{{}_{n}{\mathrm{C}}_{k}\quad}{{}_{n}{\mathrm{C}}_{i}\quad}$$($i$は1以上$n$以下の整数)が整数となるような正整数$n, k$($n\geq$$k$)のうち, 積$nk$の総和を求めよ.

サイコロを3つ振りその積について考えるとき以下の問いに答えなさい
（1）積が偶数になる確率はx/y、xyそれぞれを求めよ
（2）積が6の倍数になる確率はx/y、xyそれぞれを求めよ
（3）積が5の倍数または3の倍数である確率はx/y、xyそれぞれを求めよ

問題文

自然数nに対しn自身を除く最大の約数をf(n)とします。f(n)+f(n+1)+f(n+2)=nを満たす最大のnを求てください

解答形式

例）数値を入力して下さい

問題文

あなた
やかなるまま
ふらふらってもうらない
しさとばっかして
ありはもっとにして

解答形式

アルファベット大文字と小文字を交えて答えてください

第1問

$\theta~$を媒介変数とし、曲線$~C_n~$を次のように定める。
$$C_n：\begin{cases}x=n(\theta-\sin\theta) \\
y=n(1-\cos\theta)\end{cases}$$
$n~$を自然数、$0\leqq\theta\leqq 2\pi$であるときの曲線$~C_n~$の長さを$~L_n~$とする。次の問いに答えなさい。

$(1)~L_1~$を求めなさい。
$(2)~$数列$\lbrace{ L_n\rbrace}$が等差数列であることを示しなさい。

第5問

自然数$n$に対して、次の等式が成り立つことを示しなさい。ただし$i$は虚数単位である。
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

第2問

2つのベクトル$\overrightarrow{a}＝(a_1,a_2)，\overrightarrow{b}＝(b_1,b_2)$がある。$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$として、これに関する次の問いに答えなさい。

$(1)$
$~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$を$~a_1，a_2，b_1，b_2，\theta~$を用いて表しなさい。答えのみで構いません。

$(2)$
$~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}＝a_1b_1+a_2b_2~$が成り立つことを示しなさい。

第4問

関数$f(x)$の第$n$次導関数を$f^{(n)}(x)$とし、$f(x)$を次のように定める。$$f(x)=\sin x$$これについて次の問いに答えなさい。

$(1)~f^{(1)}(x)$を求めなさい。答えのみで構いません。
$(2)~f^{(n)}(x)$を$n$を用いた1つの式で表しなさい。また、それを数学的帰納法を用いて証明しなさい。