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問題文
$\boxed{1}, \boxed{-1}, \boxed{1+i}, \boxed{1-i}$ の4枚のカードから無作為に1枚取り出して，書かれている数字を記録して，元に戻す操作を $n$ 回繰り返す。$k$ 回目に取り出したカードに書かれてる数を $X_k$ とする。
$\displaystyle P_n=\prod_{k=1}^{n} X_k$ が正の実数になる確率を $n$ を用いて表してください。
解答形式
$n$ が奇数のとき
$P_n=\dfrac 1a\left(b+\left(\dfrac dc\right)^{n-1}\right)$
$n$ が偶数のとき
$P_n=\displaystyle\dfrac 1e\left(f+\left(\dfrac hg\right)^{n-1}
+\left(\dfrac ji\right)^{\frac{ln}{k}-m}\right)$
と表せるので，$a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m$ の値を入力してください。
※$n$ が紛らわしいので注意
$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\log_{e^{n}}\,{}_{2n}\mathrm{C}_{n}$$を求めてください。
解答形式
半角で数字のみ入力してください。
・答えが分数になる場合は分母と分子の和を答えてください。
(例: $\dfrac{1}{2}$ → $3$を入力する )
・答えに$\pi$を含む場合は$\pi=3$として答えてください。
(例: $2\pi$ → $6$を入力する，$\dfrac{\pi}{2}$ → $5$を入力する )
・答えに$\log$を含む場合は$a\log b$となる場合も$\log b^a$として真数のみ答えてください。
(例: $2\log 2$ → $4$を入力する )
・上記の例に当てはまらない場合は$0$と入力してください。($0$に収束する場合も$0$と入力します)
問題文
二等辺三角形ABCがあり、AB＝AC＝xcmである。また、頂角は150°である。下の式が二等辺三角形ABCの面積の値と等しくなった時、xの数値を求めなさい。(・は掛け算の×を表しています)
$$
\frac{x^4-10x^2+9}{(x+1)(x+3)(x-3)} + \sqrt{25+4\sqrt{6}} \cdot \sqrt{25-4\sqrt{6}} + \frac{(x+2)^3-(x-2)^3}{12x} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{1}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} + 19
$$
解答形式
x＝は必要ありません。数値のみを記入してください
(例) 810
問題文
三角形ABCの
Pを線分AB上にABを2:3に内分するように、
Qを直線BC上にBCを1:2に外分するように、
Rを直線AC上に取ったところ、
P,Q,Rは一直線上にありました
この時、AR/CRの値を求めてください。
解答形式
解答する値は互いに素な自然数(a,b)を用いてa/bと表せるので、a+bの値を求めてください