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問題文
3次元座標空間で式 $4z^2=x^2+y^2-1$ を満たす点 $(x,y,z)$ の集合からなる曲面を $S$ とします. 点 $P(1,2,1)$ を通る直線のうち, 正確に二つが $S$ に完全に含まれることを示してください.
またこの二つの直線が成す鋭角を $\theta$ とする時, $\cos\theta$ を求めなさい.
解答形式
最初の行に $\cos\theta$ を入力してください.
2列目は空白にしておいてください.
3行目から証明過程をできるだけ詳しく作成してください.
問題文
次の行列 $A$ に対して等式 $A^5 = aA^2+bA+cI$ が成立するる実数 $a, b, c$ を求めなさい. ただし, $I$ は $3\times3$ 単位行列である.
$$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
解答形式
$a, b, c$ を空白で区切って1行に入力してください. 例えば $(a,b,c)=(7,15,92)$ であれば解答として 7 15 92 を入力してください.
問題文
内接五角形$ABCDE$があり、$∠BAC$＝$∠CAD$＝$∠DAE$である。
また、$AB=12$、$AC=17$、$AD=20$である。
このとき、$AE$の長さは互いに素な正の整数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので$p+q$を解答してください。
解答形式
半角で解答してください。
問題文
三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．
- 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
- 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
- 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
- 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．
このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．
$$AH=17 , AO=11$$
のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．
解答形式
答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．
問題文
4次方程式 $x^4-4x^3-21x^2-8x+4=0$ の4つの相異なる実数解を，小さいものから順に $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ とします．このとき，以下の値を求めてください：
$$\displaystyle\frac{1}{a_{1}^2-a_{1}a_{2}+a_{2}^2}+ \displaystyle\frac{1}{a_{3}^2-a_{3}a_{4}+a_{4}^2} $$
解答形式
互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．
問題文
$∠B=60°$を満たす鋭角三角形$ABC$について、その内接円が$AC,AB$にそれぞれ$D,E$で接している。$∠B$の二等分線と直線$DE$の交点を$F$とすると以下が成立した。
$$
AB=4 CF=3
$$
$F$を通り$AB$と平行な直線と$AC$の交点を$G$とするとき、$CG²$の値を求めてください。
解答形式
半角で解答してください。
問題文
三角形ABCとその辺AB上にある点Dと辺CA上にある点Eが次の二つの条件を満たしている．（ただし、点D,Eは点Aとは一致しない）
（Ⅰ）AB=13,BC=14,CA=15
（Ⅱ）4点B,C,E,Dは共円
このとき、「点Aを通りDEに垂直な直線」と、線分BCの交点をFとする．
BFの長さを求めよ．
解答形式
例）この答えは、互いに素な自然数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}$と書けるので、$a$+$b$の値を答えてください．