問題の数値設定に不備があったため、数値設定を変更します。申し訳ありません。(三角形 DEH の面積を 9 から 3 に変更しました。)
鋭角三角形 ABC の垂心を H, 外心を O とします. また, 直線 BH と線分 AC の交点を D, 直線 CH と線分 AB の交点を E とします. そして, 線分 DE の中点を N, 直線 HN と直線 AO の交点を X とします. このとき, A,X,O はこの順に並び, AX=3,XO=5 が成立しました. また, 三角形 DEH の面積が 3 であったとき, 三角形 ABC の面積を求めてください.
答えは, 正整数 a,b を用いて √a+b と表されるので, a+b の値を半角数字で解答してください.
こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。
正六角形 ABCDEF の線分 AC,BC,DE 上にそれぞれ点 P,Q,R を取ったところ, PQ⊥BC,PR⊥DE,∠QAR=60∘ が成立しました. また, 三角形 APQ の外心を O, 三角形 APR の外心を O′ とし, 三角形 AOO′ の外接円と三角形 APQ の外接円の交点を X(≠A), 三角形AOO′ の外接円 と三角形 APR の外接円の交点を Y(≠A) とすると, BY=7 が成立しました. このとき, 線分 DX の長さを求めて下さい.
答えは最大公約数が 1 である正整数 a,b,c によって √b−ca と表されるため, a+b+c の値を半角数字で解答してください.
【補助線主体の図形問題 #126】
今週の図形問題です。隙あらば暗算で処理できる程度の問題を好んで出題しているのですが、今回は暗算処理は厳しいかもしれません。紙&ペンをご用意の上、挑戦していただければと思います。
解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) 12cm → 12.00 10√2cm → 14.14 1+√52cm → 1.62
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、√2=1.41やπ=3.14などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
整数 x,y と数列 zk=|x−k|+|y−k| に対し,次の命題は xy≦7! の反例を何組もつか.
半角数字で入力してください.
関数 f:(0,∞)→(0,∞) は C2級で、任意の x>0 に対して
f(1)=1, f(1x)=f(x)x, d2dx2f(x)≤0, d2dx2(1f(1x))≤0
をすべて満たすとする。このような f に対し
I[f]=∫212f(x)dx
を考える。
(1)I[f] の最大値は アイウエ である。
(2)I[f] の最小値は オ−カlogキ である。ただし log は自然対数である。
ア〜カには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウエ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「オカキ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
ただし、対数の中身が最小となるように答えよ。
a>0 を定数とする。t≥0 で定義された実数値関数 x(t) について、以下の微分方程式の初期値問題を考える:
{x″(t)=−x(t)(1+{x(t)}2)2 (t≥0)x(0)=√24, x′(0)=a
(1)limt→+∞x(t)=+∞ となる a の範囲は、a≥ア√イウ である。
(2)a=ア√イウ のとき、x(t)=34 となる t の値は t=エオカ+キクlog2 である。ただし log は自然対数とする。
ア〜クには、0から9までの数字が入る。同じ文字の空欄には同じ数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「エオカキク」を半角で2行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、根号の中身が最小になるように答えよ。
N を正の整数、c>0 を定数とする。実数の組 (t1,t2,…,tN) に対して関数
fn(t1,t2,…,tN)=tn(1−tn)(c(1+tn)−N∑i=1ti) (n=1,2,…,N)
を考える。また、N×N 行列 J(t1,t2,…,tN) を
J(t1,t2,…,tN)=(∂f1∂t1⋯∂f1∂tN⋮⋱⋮∂fN∂t1⋯∂fN∂tN)
と定義する。
N=1000, c=10001.23 として、以下の問いに答えよ。
(1)1000個の実数の組 (x1,x2,…,x1000) であって、x1≤x2≤…≤x1000 かつ
fn(x1,x2,…,x1000)=0 (n=1,2,…,1000)
を満たすものはいくつあるか。
(2)(1)で考えた組のうち、J(x1,x2,…,x1000) の固有値の実部がすべて負であるようなものはいくつあるか。
(1)の答えを半角数字で1行目に入力せよ。
(2)の答えを半角数字で2行目に入力せよ。
正の整数 a,b,c が
(110010001)a(100011001)b(101010001)c=(12020240124001)
を満たすとき、a+b+c の値を求めよ。
半角数字で1行目に入力せよ。
図のような六角形ABCDEFがあります。∠FED= ∠EDC= ∠DCB=150°, ∠CBA=135°で,FE=ED=DC=CB,DB=8cm,BA=4cmのとき,六角形ABCDEFの面積は何㎠ですか。
半角数字で入力してください。
例)10
——————————————————————————————
問題文中に抜けている箇所があったので訂正しました。ご指摘ありがとうございました。