勇者・しおしおと草将

問題文

$1$文字目と$3$文字目が等しく、$2$文字目と$4$文字目が等しい$4$文字の文字列をしましま文字列と呼ぶことにします。
例えば「しましま」や「bcbc」や「aaaa」はしましま文字列ですが、「もじれつ」や「ababa」や「abac」などはしましま文字列ではありません。

しましまは嘘の競技数学コンテストUSOMOを懲りずに毎年開いているので、ついにHONTOMOの元日本代表のアンチがついてしまいした(悲しい...)
しましま文字列を（連続しなくても良い）部分文字列として持たない文字列をアンチしましま文字列と呼ぶことにします。
例えば「ししまま」や「abcbba」や「abcdefgcc」はアンチしましま文字列ですが、「しましまし」や「abbcbba」や「acbadb」はアンチしましま文字列ではありません。

15文字のアンチしましま文字列であって全ての文字が a,b,c,d,e の5文字のうちのいずれかであるような文字列はいくつ存在しますか？

解答形式

非負整数を半角で入力してください

問題文

大変だ！Golden Gokiburi が座標 $(0,0)$ に出たぞ！
Golden Gokiburi は 一回の移動で $(x,y)$ から $(x+1,y+1)(x,y+1)(x-1,y+1)(x+1,y)(x-1,y)(x,y-1)$ の6地点のうちいずれか一つに等確率で移動します。
$(3,7)$ にいるしましま君は不安で不安で仕方がありません。
$(0,0)$ にいる Golden Gokiburi が $900$ 回移動した後の $(3,7)$ と Golden Gokiburi との距離の $2$ 乗の期待値を求めてください。

解答形式

答えは非負整数になるので半角で解答してください。

問題文

実数上の二項演算である「見せ算」を次のように定義します（今回は見せ算の中でも初等的な性質のみ扱います。）
$$
x \spadesuit y= \begin{cases} y & (x<y) \\ 0 & (x= y)\\ x & (x> y) \end{cases}
$$
この見せ算では結合法則が成り立たたず、計算順序により眼(答え)が変わる事があります。例えば、$((4 \spadesuit 4) \spadesuit 3)=3$ ですが、$(4 \spadesuit (4 \spadesuit 3))=0$ です。
数列 $(a_1,a_2,...,a_n)$ であって、$a_1\spadesuit a_2\spadesuit ....\spadesuit a_n$ をどんな順序で計算しても眼(答え)が変わらない数列を 全不変眼数列 と呼びます。
例えば、$(0,4,0,1)$ はどのような順序で計算しても眼が $4$ になるので 全不変眼数列 ですが、$(1,2,2,1)$ は $(((1 \spadesuit 2) \spadesuit 2) \spadesuit 1)=1$、 $(1 \spadesuit ((2 \spadesuit 2) \spadesuit 1))=0$ であるため 全不変眼数列 ではありません。
長さが $24$ で、$0,1,2,3$ を要素としてそれぞれ $6$ つずつ持つような 全不変眼数列 はいくつありますか？

解答形式

半角で解答してください

問題文

全ての 答えが9になる足し算の式 を部分文字列として含む長さが31の文字列を解答するのがHard問題でしたが、さるのはこの問題の答えとしてありうる文字列が何通りあるのか気になりました。しかし、計算が面倒すぎて投げ出してしまいました。しかし、全ての 答えが 7 になる足し算の式 を部分文字列として含む長さが 22 の文字列なら何通りあるか計算できたようです。

全ての 答えが 7 になる足し算の式 を(連続していなくても良い)部分文字列として含む長さが 22 の文字列がいくつ存在するか計算してください。
なお、答えが 7 になる足し算の式 を(連続していなくても良い)部分文字列として含む長さが 21 以下の文字列は存在しないことが証明できます。

例えば、答えが5になる足し算になる式として「3+2」「1+1+1+1+1」「5」などが挙げられます。
「1+2×2」や「0+1+4」や「0.5+4.5」や「-1+6」や「+3+2」や「⑨」などは足し算の式ではない事に注意してください。

足し算の式の厳密な定義 (これは全難易度で共通です)
足し算の式の各文字は1,2,3,4,5,6,7,8,9,+のいずれかで、先頭と末尾の文字は数字で、+どうしは連続しない。
その足し算の式を通常の数式として計算した結果がその足し算の式の答えになる。

解答形式

半角で非負整数を解答してください。

問題文

正整数 $n$ について $d(n)$ で $n$ の正の約数の個数を表すとき、
$$\sum^{100000}_{k=1}d(k)$$
の値を求めよ。

以下は体育会系数学部のある部員がこの問題に挑戦した記録である。

とりあえず1から順に約数の個数を数えていくぞ！
$d(1)=1$
$d(2)=2$
$d(3)=2$
$d(4)=3$
...
$d(100)=9$
これを $100000$ までやるのは大変だな...
もしかして主客転倒すれば
$$\sum^{100000}_{k=1} \left [\frac{100000}{k}\right ]$$
を計算すればいいのでは？やってみよう！
$\sum^{1}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =100000$

$\sum^{2}_{k=1} [\frac{100000}{k}] =150000$

$\sum^{3}_{k=1} [\frac{100000}{k}] =183333$

...

$\sum^{100}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =518692$

この調子でどんどん計算していくぞ！

...

$\sum^{1000}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =748058$

流石に疲れてきたな...

...

$\sum^{2024}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] = 818025$

意識が朦朧としてきた...

その後部員は救急車で病院に搬送された。
部員の途中計算は間違っていないようだ。部員の意思を継いでこの問題の答えを出してほしい。

解答形式

非負整数で解答してください。

問題文

正の有理数に対してスコアを次のように定義する。
有理数に対して正則連分数の数列を $[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$とした時、$\sum^{n}_{i=0}a_i$
連分数を知らない人は下のWikipediaを見ても良いです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0

例えば、$9$ のスコアは $9$ で、$\frac{7}{4}$ のスコアは $5$ で、$\frac{1}{7}$ のスコアは $7$ です。

スコアが $10$ であるような正の有理数の中で $100$ 番目に小さいものを解答してください。

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて、$\frac{b}{a}$ と表せるので $a+b$ を解答してください。

提出制限

この問題の提出制限は $5$ 回です。

問題文

左から右に一列に並んだ $n$ 色のボールがあります。AliceとBobはボールを使ったデスゲームで遊ぶようです。
Aliceが先手でそれ以降は交互に手番を行います。
各手番のプレイヤーは隣り合う $2$ つのボールを選択し、その位置を入れ替えます。この時、その $2$ つのボールの組が(自分相手関係なく)過去に選ばれていた場合、全てのボールが大爆発し、手番のプレイヤーは死にます。死ななかった方が勝ちです。

例: $n=3$ の場合
最初のボールの並びを (赤,青,黄) とします。
Aliceの手番
赤と青を入れ替えました。盤面:(青,赤,黄)
Bobの手番
赤と黄を入れ替えました。盤面:(青,黄,赤)
Aliceの手番
黄と青を入れ替えました。盤面:(黄,青,赤)
Bobの手番
赤と青を入れ替えようとしますが、赤と青の組は最初のターンで選ばれています。全てのボールが大爆発し、Bobは死にました。
Aliceの勝利です。

Bobが死んでしまったのでゲームが出来なくなってしまいました...

あなたが代わりに参加して下さい。
あなたが負けた場合は全ての問題が大爆発し、得点が-5000兆点になります。
今回は $n=333$ です。あなたが先手か後手を選んでください。

解答形式

あなたが選ぶ手番を先手か後手の漢字二文字で解答してください。
この問題に不正解の判定を受けた場合、あなたのUSOMO004での得点は $-5000000000000000$ 点になります。

提出制限

この問題の提出制限は $1$ 回です。

問題文

$$\sum^{100}_{k=1}\left\lfloor \sqrt[3]{1001001-k^3}\right \rfloor$$
を $2$ で割った余りはいくつですか？

解答形式

非負整数で解答してください。

提出制限

この問題の提出制限は $1$ 回です。

$N=9000^2\times 9001$ とし, 以下の条件を満たす整数の組の列 $(x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1) ,\dots,(x_{N},y_{N},z_{N})$ を良い列 と呼びます.

• $(x_0,y_0,z_0)=(x_{N},y_{N},z_{N})=(0,0,0)$.
• $n=1,2,\dots,N$ について, $(x_n-x_{n-1},y_n-y_{n-1},z_n-z_{n-1})$ は $(1,-1,0)$ の $6$ 通りの並べ替えまたは $(0,0,0)$ のいずれかに等しい.

このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.

問題文

十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $a,b,c,d,e,f$ であるような $6$ 桁の整数を $A$ とし，十万，一万，千，百，十，一の位がそれぞれ $e,f,a,b,c,d$ であるような $6$ 桁の整数を $B$ とします．
相異なる $1$ 桁の整数 $a,b,c,d,e,f$ が $e>a>0$ を満たしながら動くとき，$A$ と $B$ の最大公約数の最大値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$4\times4$ のマス目の各マスに $3,2,6$ のいずれかを書き込む方法のうち，どの横の行に書かれた $4$ 数の積も立方数であり，どの縦の列に書かれた $4$ 数の積も立方数であるような書き込み方は何通りあるかを求めてください．
ただし，回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数えるものとします．また，$3,2,6$ のうち使わない数があっても構いません．

解答形式

半角数字で解答してください．

「このミニゲームはWiiリモコンを縦にもって遊びます」

ミニゲームのルール

まず3人側が、それぞれ好きな所にかくれ、1人側がさがします。5回のチャンスで全員見つけたら1人側の勝ちです。
参考: https://www.youtube.com/watch?v=9gEDX_oEmZE

問題

このゲームの隠れ場所は、$b_1,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ の $7$ 箇所ありますが、$b_1$ (真ん中の遊具) に隠れた場合は外から見えてしまいます。（見つけるのにチャレンジは1回使う必要がある）なので、通常は $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ の $6$ つからランダムに選びます。3人は相談できず独立に隠れ場所を選ぶので同じ場所に隠れる事もあります。この時、3人側の勝率は $91/216$ になります。
このゲームで遊んでいるしましま君は間違えて$b_1$に隠れてしまいました。他の2人は $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ の $6$ つから独立にランダムに選びました。1人側は最初に$b_1$を探し、その後はランダムに探します。この時の3人側の勝率を求めてください。
追記(11:06):1人側は十分賢いので、一度探した所はもう一度探しません。

解答形式

答えは既約分数で$a/b$と表せるので、$a+b$ を回答してください。