$n,kをn≠kで3以上の自然数とする。$ $このとき、正n角形において、その内部をn個の正k角形で重複なく、また隙間なく敷き詰められるような(n,k)を求めよ.$
(〇,◇) 記号も数字もすべて半角でお願いします。
${}$ 西暦2026年問題第4弾です。見た目こそ覆面算風味の整数問題ですが、はたして……？ 桁数の多い計算が待っていますので、適宜電卓をお使いください。
${}$ 解答は1行目に$x$の値を、2行目に$d$の値を、それぞれ半角で入力してください。「$x=$」「$d=$」といった記載は不要です。 （例）$x=$104、$d=$4 → 《1行目》$\color{blue}{104}$、《2行目》$\color{blue}{4}$
$n$進法でも$n+1$進法でも$3$桁の回文数になるような正の整数をn-今年の数と定義します． たとえば，$2026$は$13$進法で$BCB_{(13)}$,$14$進法で$A4A_{(14)}$となるので13-今年の数です． すべての7-今年の数について，その総和を求めてください． ただし，$n$進法における$3$桁の回文数とはある正整数$X(1\le X\le n-1),Y(0\le X\le n-1)$を用いて$XYX_{(n)}$と表せる数のこととします．
ab-3c-d^2 = e …① 3cd+d^2+e^2 = abd …② a+8+2d = b …③ a+11+e = b+3 …④ を全て満たす自然数の組(a,b,c,d,e)のうち、a+b+c+d+eが最小となるようなものを求めよ。
a+b+c+d+e の値を半角数字で
$m^{n+1}+n^m+1=2026$ を満たす正整数の組 $(m,n)$ を全てについて，$mn$の総和を求めてください．
以下の式を満たす正整数の組 $(x,y,z)$ すべてについて，$xyz$ の総和を求めてください． $$x^3+y^3+z^3+\dfrac{xyz}{16}=2026$$
${}$ 西暦2026年問題第3弾は規則性の問題でお送りします。あることに気づけば機械的な計算で答えが求まります。規則性の妙をお楽しみください。
${}$ 解答は$n$の値を半角でそのまま入力してください。「$n=$」の記載は不要です。 （例）$n=103$ → $\color{blue}{103}$ なお、この条件を満たす$n$が存在しない場合には、$\color{blue}{-1}$と入力してください。
全ての桁が偶数からなる正整数を今年の数とします．例えば $2026$ は今年の数です． $2026$ 以下の今年の数は全部でいくつありますか．
$2 \times 6$ のマス目があります．全てのマスそれぞれに $0,2,6$ のうち一つを選んで書き込みます．以下の条件を満たすような書き込み方は何通りありますか． ・どの辺を共有して隣り合う $2$ マスについてもそれらに書き込まれた数の和がある非負整数 $a$ を用いて $2^a$ と表せる． ただし，回転・反転によって一致するものも区別します．
$10$進法での正整数$N$の桁和を$S(N)$とおきます． $2026=1013\times 2$, $2+0+2+6=(1+0+1+3)\times 2$ のように，$N=p\times q$と素因数分解できるときに， $S(N)=S(p)\times S(q)$と表せるような正整数$N$を今年の数とよびます． 4桁の今年の数のうち2026は小さい方から何番目か求めてください。
以下の操作を数字が$100$以下になるまで繰り返し行います． ・下$2$桁の数字を取り除き、残った数字にかける． たとえば，$2108$は，$21×8=168$となります． このとき、$2$回目の操作までに数字が$100$になる数を今年の数と呼ぶことにします． 今年の数のうち、2026は何番目に小さいですか？ ただし、100は今年の数に含まれないものとします.
$20\times26$のマス目のいずれかにおせちが置かれており，太郎君はおせちが置かれていないいずれかのマスから，通るマスの数が最小となるようにおせちまで移動します． お年玉を太郎君が通ったマスの個数と定義するとき， おせちと太郎君の初期位置すべてについて，お年玉の総和を求めてください． ただし，最初のマスと最後のマスも通ったマスとみなします．
