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問題文
正整数 $n$ について $d(n)$ で $n$ の正の約数の個数を表すとき、
$$\sum^{100000}_{k=1}d(k)$$
の値を求めよ。
以下は体育会系数学部のある部員がこの問題に挑戦した記録である。
とりあえず1から順に約数の個数を数えていくぞ！
$d(1)=1$
$d(2)=2$
$d(3)=2$
$d(4)=3$
...
$d(100)=9$
これを $100000$ までやるのは大変だな...
もしかして主客転倒すれば
$$\sum^{100000}_{k=1} \left [\frac{100000}{k}\right ]$$
を計算すればいいのでは？やってみよう！
$\sum^{1}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =100000$
$\sum^{2}_{k=1} [\frac{100000}{k}] =150000$
$\sum^{3}_{k=1} [\frac{100000}{k}] =183333$
...
$\sum^{100}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =518692$
この調子でどんどん計算していくぞ！
...
$\sum^{1000}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =748058$
流石に疲れてきたな...
...
$\sum^{2024}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] = 818025$
意識が朦朧としてきた...
その後部員は救急車で病院に搬送された。
部員の途中計算は間違っていないようだ。部員の意思を継いでこの問題の答えを出してほしい。
解答形式
非負整数で解答してください。
問題文
さるのは答えが9になる足し算の式を知りたいです。そのような足し算の式は沢山ありますが、そのうち一つを解答してください。(答えは複数存在しますが、どれを解答しても正解になります)
例えば、答えが5になる足し算になる式として「3+2」「1+1+1+1+1」「5」などが挙げられます。
「1+2×2」や「0+1+4」や「0.5+4.5」や「-1+6」や「+3+2」や「⑨」などは足し算の式ではない事に注意してください。
足し算の式の厳密な定義 (これは全難易度で共通です)
足し算の式の各文字は1,2,3,4,5,6,7,8,9,+のいずれかで、先頭と末尾の文字は数字で、+どうしは連続しない。
その足し算の式を通常の数式として計算した結果がその足し算の式の答えになる。
解答形式
半角で1行で解答してください。「」は付けないでください
例えば「3+2+1」と解答したい場合は次のように解答してください
3+2+1
$$
恒等式\frac{3ax-b}{(x-1)(2x+1)}=\frac{{cos60゜}+{log_24^a}}{x-1}+\frac{{sin45゜}+{log_327^b}}{2x+1}\\について、a,bについて求めて下さい。
$$
$$
(1)\begin{cases}a=\frac{2}{5}\\b=-\frac{1}{4}\end{cases}
(2)\begin{cases}a=\frac{4}{6}\\b=-\frac{2}{5}\end{cases}
(3)\begin{cases}a=\frac{6}{7}\\b=-\frac{3}{7}\end{cases}
(4)\begin{cases}a=\frac{7}{8}\\b=-\frac{5}{9}\end{cases}
$$
問題文
$0$ 以上 $1$ 以下の実数の組 $(x_0 , x_1 ,\ldots, x_{100})$ と正の実数の組 $(y_0 , y_1 ,\ldots ,y_{100})$ が以下の条件を満たしました．
$$
x_ny_n=n(0\leq n\leq 100),\quad y_0=2,\quad y_{100}=260
$$
この時，以下の値の最小値を求めてください．
$$
\sum_{k=0}^{99} \left(\sqrt{y_k^2+y_{k+1}^2-2y_ky_{k+1}\Bigl( x_kx_{k+1}+\sqrt{(1-x_k^2)(1-x_{k+1}^2)}\Bigr)}\right)
$$
解答形式
求める値は $\sqrt{m}$ と表せるので， $m$ の値を半角数字で解答してください．
問題文
（ https://mathlog.info/articles/Lf8QaKPklfv156yuq309 問題13）
三角形$ABC$において外接円，内接円，角$A$内の傍接円の半径をそれぞれ$R,r,r_A$とすると
$$R=14,r=6,r_A=19$$
が成り立ちました．このとき$BC$の長さの二乗を求めてください．
解答形式
答えを入力してください．
問題文
以下の条件を全て満たす $20001$ 個の整数の組 $(a_0,a_1,…,a_{20000})$ を 階段状な組 と定義します．
- $a_0=a_{20000}=0$ ．
- $k=0,1,…,19999$ について $|a_{k+1}-a_k|=1$ ．
また，階段状な組 $A=(a_0,a_1,…,a_{20000})$ に対して スコア $S(A)$ を以下のように定めます．
- 以下の条件を全て満たす $1001$ 個の整数の組 $(x_0,x_1,…,x_{1000})$ の個数．
$\quad$ ・ $k=0,1,…1000$ について $x_k$ は $0$ 以上 $20000$ 以下の 偶数 ．
$\quad$ ・ $k=0,1,…999$ について $x_k\lt x_{k+1}$ ．
$\quad$ ・ $a_{x_{1000}}=0$ ．
階段状な組全てに対してスコア $S(A)$ の総和を求め，その値が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．
解答形式
答えを入力してください．
問題文
三角柱 $ABC-DEF$ があり，いま点 $P$ は頂点 $A$ にいます．点 $P$ が隣り合う頂点に移動する操作を $12$ 回繰り返して点 $A$ に戻るように移動する方法すべてに対して，上下に移動する回数の総和を求めてください．
ただし上下に移動するとは，頂点 $A,B,C$ のいずれから頂点 $D,E,F$ のいずれかに移動すること，またその逆を意味します．
解答形式
半角数字で解答してください．