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$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，内心を $I$，外心を $O$，$I$ から線分 $AC$ に下ろした垂線の足を $P$，線分 $BC$ の中点を $M$ とすると線分 $AI$ を直径とする円は線分 $MP$ に接しました．半直線 $MI$ と半直線 $CA$ が交わったのでその点を $D$ とし，直線 $BI$ と三角形 $ABC$ の外接円の $B$ でない交点を $N$ とします．三角形 $BDN$ の外接円と線分 $BC, CA$ (端点を除く) の交点が存在したのでそれぞれ $E,F$ とします．$EF=2, PM=5$ のとき，線分 $IO$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$，垂心を $H$，線分 $HB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とし，線分 $MN$ と三角形 $NDC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とします．$AX\perp MN, XA=2, XD=1$ のとき線分 $AC$ の長さの二乗を解答してください．
問題文
正の整数の組 $(a, b)$ であって$,$ $a < b \leqq 2026$ かつ$$\mathrm{lcm}(a, b) - \gcd(a, b) = \frac{a + b}{2}$$を満たすものはいくつありますか。
解答形式
半角で数字のみ入力してください。
文字l,m,oによる3n文字の文字列を考えます。
この文字列に対して、次の操作をちょうど n 回行います。
・残っている文字列に対し、i<j<k を満たす正整数 i,j,k であって、
左から i 文字目が m、j 文字目が o、k 文字目が l であるものを 1 組選び、
その 3 文字を削除する。
最終的に文字列を空にすることができるような文字列の個数を$a_{n}$とします。
例えば、molmol,momlol,momollなどは$a_{2}$の一部として数えられますが、
lmolom,mollom,mmloolなどはmol部分文字列を途中で取り出せなくなるため、$a_{2}$に含まれません。
$a_{n}≧6.02×10^{23}$となる最小のnを求めてください。
※ 数値計算に電卓を用いて構いません。
解答形式
半角で正整数を入力(空白なし)
【問題】
実数全体で定義された連続関数の列 ${f_n(x)}_{n=1}^{\infty}$ を以下のように帰納的に定義する。
$$f_1(x) = \frac{1}{x^2 + \sqrt{2}x + 1}$$
$$f_{n+1}(x) = 2x \cdot f_n(x) - \frac{d}{dx}\left[ (x^2+1) \cdot f_n(x) \right] \quad (n \ge 1)$$
このとき、次の定積分 $I$ の値を求めよ。
$$I = \int_{0}^{1} f_3(x) \, dx$$
解答形式
必要であれば、ルートを表す√の文字(例：√A)、円周率であるπの文字、虚数であるiの文字を使っても良い。
また、項が複数存在する場合はA + B - Cのように半角スペースで分け、
分数で答える場合は、A/Bと答えること。(A、Bは実数又は複素数)
問題文
正の整数 $n$ に対して, $f(n)$ を次のように定義する。
$$ f(n) = 1^3 + 2^3 + \cdots + (n-1)^3 + n^3 + (n-1)^3 + \cdots + 2^3 + 1^3 $$
$f(n)$ が平方数となるような正の整数 $n$ のうち, $1000$以下のものをすべて求めてください。
解答形式
答えは複数あるので, その総和を入力してください。
問題文
自然数nと2つの正の数m、rに対して、関数 f(x) のグラフは、中心が (m, n) で半径が r の円 C の y≦n の部分（ただし、 m-r≦x≦m+r ）である。関数f(x)が次の条件を満たしている。
（ア）方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数は2である。
（イ）方程式 f(x-3f(x))=0 の異なる実数解の個数は3である。
曲線 y=f(x)上の点(10, 2)における接線の方程式が3x-y-28=0であるとき、 m+n+r²の値を求めよ。
解答形式
自然数で入力してください。
問題文
半径6の円Oがあり、図のように弦ABをひく。
点P₁はAから出発し、弧ABの長い方を通ってBまで動く。BについたらすぐにAへ戻り、これを繰り返すものとする。
点P₂はBから出発し、弧ABの短い方を通ってAまで動く。AについたらすぐにBへ戻り、これを繰り返すものとする。
ここで、点P₁の速さは毎秒1/3π、点P₂の速さは毎秒πとする。
さらに、弧AP₁=3/2πのときに、∠BAP₁=90°が成り立つ。
点P₁と点P₂が動き始めてから300秒後以内に、四角形AP₁BP₂の面積が最大となるタイミングは何回あるか。
解答形式
例）単位は不要です、半角数字のみで答えてください。
問題文
図のように、点Oを中心とする円の周上に、5点A,B,C,D,Eがあります。
BE=8,BC=EC=4√5であり、ADとBEの交点をPとすると、AP=2√2,PD=4√2、
ADとECの交点をQとしたとき、QD/PQ=√10/2-1が成り立ちました。
このとき、三角形PQEの面積を求めなさい。ただし、図は正確とは限りません。
解答形式
半角数字を用いてください。答えが分数になる場合は、「分子/分母」で表してください。
問題文
nを正の整数とし、
$$
ω(n)=nの異なる素因数の個数
\\
Ω(n)=nの重複込みの素因数の個数
$$
とします。
例えば、
$$
2100=2^{2}×3×5^{2}×7
\\
7=7
$$
なので、
$$
ω(2100)=4
\\
Ω(2100)=2+1+2+1=6
\\
ω(7)=1
\\
Ω(7)=1
$$
となります。
$$
\sum_{n=1}^{256} Ω(n)-ω(n)
$$
を求めなさい。
ただし、√256以下の素数は2,3,5,7,11,13です。
解答形式
半角正整数