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問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外接円の優弧 $BC$ の中点を $D$ ，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，直線 $AC,DM$ の交点を $X$ とします．このとき，四角形 $ABCD$ の面積は $97$ で，かつ $DX=4,XM=5$ が成立しました．三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

$1,2,\dots,8$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_8$ であって，$$\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{a_5+a_6+a_7+a_8}$$ が整数となるものはいくつありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$p\leq q\leq r$ なる素数の組 $(p,q,r)$ であって，次を満たすものすべてについて $pqr$ の値の総和を求めてください．$$p^2+q^2+r^2=995$$

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$0\leq n\leq m\leq 100$ なる整数組 $(m,n)$ のうち，$_m\mathrm{C}_n$ が偶数となるものはいくつありますか．ただし，$_0\mathrm{C}_0=1$ とします．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$a,b$ を正整数とするとき，$f(a,b)$ を次の式を満たす整数 $n$ の個数として定めます．$$an^3+b=\mathrm{lcm}(a,b)n^2+\gcd(a,b)n$$このとき，次の値を求めてください．$$\sum_{a=1}^{100}\sum_{b=1}^{100}f(a,b)$$

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

${}$　単語を並び替え、スペースを詰めてしまった英文形式のクイズ「QuizShuffleConcatenateAnd」第9問です。毎週日曜21時の定時投稿をしています。お楽しみいただけているでしょうか。
　解くにあたって辞書やネット検索はご自由にどうぞ。

解答形式

${}$　元に戻した英文に日本語で答えてください。今回は「カタカナで4文字」です。

例題

inhighestwhatjapantheismountain
　　　　　↓　↓　↓
${}$　これを元に戻すと
What is the highest mountain in Japan?
となるので、答えは「富士山」となります。

問題文

算数さんは、97円の商品Aと、56円の商品Bと、商品Bより安い商品Cをそれぞれ1個以上、合わせて123個買ったところ、9471円でした。Cの値段として考えられる値段の総和を解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください。

$$\left\lfloor \dfrac n2 \right\rfloor+ \left\lfloor \dfrac n3 \right\rfloor+ \left\lfloor \dfrac n6\right\rfloor $$が素数になるような自然数 $n$ のうち $10$ 番目に小さいものを求めてください．

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $D,1:3$ に内分する点を $E,$ 三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすると $\angle DHE=90°$ で，四点 $A,C,D,H$ は共円となりました。$BC=9$ の時，$AB^2$ を求めてください.

東君の家に $9$ 人の友達が遊びにきたので，東君のお母さんは $10$ 人に $1$ 枚ずつクッキーをくれました．今， $10$ 人は円形のテーブル席に等間隔に座っており，次の操作に従ってクッキーを渡します．

操作 $\alpha:$ ある子がその対角線上に座っている子にクッキーを渡す.

操作 $\beta:$ ある子が時計回りに $1$ つ隣に座っている子にクッキーを渡すと同時に，別のある子が反時計回りに $1$ つ隣に座っている子にクッキーを渡す．

適当な回数 $\alpha, \beta$ を繰り返すことで実現可能なクッキーの配分は何通りありますか．
ただし， $10$ 人は区別し，クッキーは区別しないものとします．

五角形$ABCDE$が以下を満たしています． $$\angle B=\angle E=60°,\angle A=\angle C=90°$$ $$AB+AE = CB+CD=11,AC=7$$ この時，この五角形の面積は互いに素な正の整数 $a,b,c,d$ を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}-d}{a}$ と表せるので， $a+b+c+d$ の値を回答してください．ただし， $a,b,d$ は最大公約数が $1$ で，$c$ は平方因子を持ちません．また $∠X$ は，頂点 $X$ における内角の大きさを表します．

以下の方程式の $0 \le x < 2\pi$ における解の総和は，正の整数 $a,b$ を用いて $a\pi -b$と表せるので， $a+b$ の値を回答してください．$$\{\cos{x}+\cos{(6x+1)}+\cos{(8x+3)}\}^2+\{\sin{x}+\sin{(6x+1)}+\sin{(8x+3)}\}^2=1$$