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問題
+1, -1, ×1, ÷1がそれぞれ書かれた4種類のカードがそれぞれ十分な枚数あります。
今、$a_{0}=1$として、毎回1枚のカードを引き、$a_{n+1}$を$a_{n}$に対してそのカードに書かれた操作をすることによって定めます。ただし、nは非負整数です。
例えば、+1、+1、×1の順でカードを引いた時、$a_{0}=1$、$a_{1}=2$、$a_{2}=3$、$a_{3}=3$となります
10回の操作後、$a_{10}=1$となるようなカードの引き方の総数を求めてください。
解答形式
非負整数のみで回答してください
$n$を0以上の整数とし、
$$
I_n = \dfrac{1}{(2n)!} \int^1_0 (x-1)^{2n} \left( \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \right)dx
$$
とする。これについて,以下の設問に答えよ。
$(1) \quad I_0$ を求めよ。
$(2) \quad I_nとI_{n-1}$ の関係式を作れ。
$(3) \quad \lim_{n \to \infty} I_n $を求めよ。
$(4) \quad \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{(2n)!}$ を求めよ。