$BC=123, \angle B=90^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について,内心を $I$,$\angle A$ 内の傍心を $J$ とすると,四角形 $ABIC$ は三角形 $BCJ$ よりも面積が $246$ 大きくなりました.$AB$ の長さを求めてください.
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について,$C$ を通り $B$ で直線 $AB$ に接する円 $\gamma$ と線分 $AC$ の $C$ でない交点を $D$,$D$ を通り $A$ で直線 $AB$ に接する円 $\omega$ と $\gamma$ の $D$ でない交点を $E$ とします.いま,三角形 $ABC$ の外心を $O$ とすると,$$OD=OE, DE=2, BC=11$$ が成り立ちました.線分 $AC$ の長さの二乗を求めてください.
$AB=AC$ なる三角形 $ABC$ について,線分 $AB$ 上に点 $D$ をとり,点 $A$ から円 $DBC$ に引いた接線と円 $DBC$ の接点のうち,直線 $DC$ について点 $B$ 側にあるものを $T$ とします.円 $ATC$ と線分 $AB, BC$ の交点をそれぞれ $E(\neq A), P(\neq C)$ とし,直線 $DT$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とすると,直線 $AB$ は $\angle PAQ$ を二等分しました.$AD=7, DC=13$ のとき,線分 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を求めてください.
$BC=18$ かつ面積が $162$ なる三角形 $ABC$ について,重心を $G$,$G$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $P$ とすると,三角形 $PGC$ の面積が $30$ となりました.$AC$ の長さの二乗を求めてください.
$AB=5, AC=7$ なる三角形 $ABC$ について,$A$ から $BC$ に下ろした垂線と円 $ABC$ の交点を $D(\neq A)$,$BC$ の中点を $M$ とします.$\angle AMD=90^{\circ}$ であるとき,$BC$ の長さの四乗を求めてください.
鋭角三角形 $ABC$ について,垂心を $H$,外心を $O$,直線 $CH$ と直線 $AB$ の交点を $F$,直線 $BC, AC$ について $F$ と対称な点をそれぞれ $X, Y$ とし,直線 $BX$ と直線 $AY$ の交点を $P$ とします.$\angle FOX=\angle AFP$ かつ $FH=1, HC=7$ が成り立つとき,円 $ABC$ の半径としてありうる値の二乗の総和は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答してください.
正整数 $3$ つの集合 $S$ であって,以下を同時にみたすものは全部でいくつありますか?
半角英数にし,答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい.
以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$a×b×c×d$の総和を求めよ。
$$
4a²+b²+c²=d²
$$
半角数字で解答してください。
$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。
半角数字で解答して下さい。
$AB=2,AC=1$ をみたす三角形 $ABC$ の垂心を $H$,内心を $I$,外接円を $\Gamma$ とします.直線 $AH$ と $BI$ の交点を $D$ とし,$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $X$ とすると,$AX=BX$ となりました.このとき,辺 $BC$ の長さを求めてください.ただし,求める値は,互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表されるので,$a\times b\times c$ を解答してください.
半角数字で入力してください。