数学の問題一覧

問題文

三角形 $ABC$ の垂心を $H$ , 重心を $G$ とします.
$$AG=9　　HG=2　　\angle{AGH}=60^\circ$$
が成り立つとき, 線分 $BC$ の長さを求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

$\angle{A}=90^\circ$ をみたす三角形 $ABC$ の内心を $I$ とします. 三角形 $IBC$ の外接円上に点 $P$ をとると $BP=4, CP=5$ が成立しました. $BC^2$ としてありうる値の総和を求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とします. 線分 $AC$ 上に点 $P$ を $\angle{PMH}=90^\circ$ を満たすようにとると,
$$AP=7　　PC=4　　\cos{\angle{ACB}}=\dfrac{3}{5}$$
が成り立ちました. 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします.
$$BC=14　　AM=9　　\tan{\angle{BAC}}=2$$
が成り立つとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

三角形 $ABC$ において, $A$ から 線分 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし, 線分 $AB$ 上に点 $E$ を, $DE \parallel AC$ を満たすようにとります. 三角形 $AEC$ の外接円が再び線分 $BC$ と点 $F$ で交わり,
$$BF=1　　FD=3　　DC=14$$
が成り立つとき, 線分 $AC$ の長さを求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

問題文

三角形$ABC$ の内心, $\angle{A}$ 内の傍心をそれぞれ $I,I_{A}$ とし, $I,I_{A}$から線分 $BC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E$ とします.
$$AB^2+AC^2=AD^2+AE^2+228,　AC-AB=10　　$$
が成り立つとき., 線分 $BC$ の長さを求めてください.

解答形式

注意事項に沿って解答してください.

次の条件を考えます

条件$i:$ $3 \times 3$ のマス目に $1$ から $9$ の数字を $1$ 回ずつ書き込む方法であってどの $2 \times 2$ の $4$ マスを選んでもそこに書かれている数字の総和が $i$ 以下である.

条件を満たす配置が少なくとも $1$ つ存在するような $i$ の最小値を $i_{min}$とする時 $,$条件$i_{min}$を満たすような数字の書き込み方は何通りありますか.

以下の式の値が素数となるようなすべての正の整数の組 $(m,n)$ について, $mn$ の総和を求めてください.
$$
\dfrac{m^n-1}{m+n+7}
$$

$401$ のようにすべての桁が平方数からなる正の整数を $fool$ 数と呼びます. $999$ 桁の $fool$ 数のうち $3$ の倍数であるものの個数を $N$ としたとき$,$ $N$ の下三桁を求めてください.

$AB$ < $AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について点 $A$ から辺 $BC$ に下した垂線の足を $D,$ 点 $C$ から辺 $AB$ に下した垂線の足を $E,$ 線分 $BC$ の中点を $M$ とし$,$垂心を $H$ とします.三角形 $BHC$ の外接円と 線分 $AM$ の交点を $K$ とし直線 $KH$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とすると次のことが成り立ちました. $$\dfrac{PB}{DM}=\dfrac{3}{4}, \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{2}{3},PE=\dfrac{15}{\sqrt{13}}$$このとき三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

正の整数 $m,n$ に対し$x$ が非負整数全体を動くとき次の式の取りうる値の個数を $f(m,n)$と定めます.
$$\dfrac{\left\lbrace \dfrac{x}{m} \right\rbrace}{n}-\dfrac{\left\lbrace\dfrac{x}{n}\right\rbrace}{m}$$
次の和を素数 $997$ で割った余りを求めてください.
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{3^{1000}}f(k,3^{1000})$$
ただし $\lbrace y \rbrace$ は $y$ の小数部分を表す.

東君はスーパーに鉛筆を買いに来ました.鉛筆の税抜価格は $109$ 円です.しかし東君が財布の中身を見てみるとなんと $10$ 円玉しか入っていませんでした.東君はこう考えました.

「鉛筆は少なくとも一つ買いたいけど、お釣りだけは絶対にもらいたくない」

この時東君は最低で何個の鉛筆を買わなければいけませんか.ただし会計の時に支払う合計金額は税抜価格の総和の $1.1$ 倍の整数部分で定義され$,$東君は十分な枚数の $10$ 円玉を持っているものとします.