数学の問題一覧
問題文
三角形 $ABC$ の内心と外心をそれぞれ $I, O$ としたところ，$AI=AO$ が成り立ちました．三角形 $ABC$ の内接円，外接円の半径がそれぞれ $142, 857$ であるとき，$\angle{A}$ 内の傍接円の半径を求めてください．
解答形式
例）答えは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
$N=9000^2\times 9001$ とし, 以下の条件を満たす整数の組の列 $(x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1) ,\dots,(x_{N},y_{N},z_{N})$ を良い列 と呼びます.
- $(x_0,y_0,z_0)=(x_{N},y_{N},z_{N})=(0,0,0)$.
- $n=1,2,\dots,N$ について, $(x_n-x_{n-1},y_n-y_{n-1},z_n-z_{n-1})$ は $(1,-1,0)$ の $6$ 通りの並べ替えまたは $(0,0,0)$ のいずれかに等しい.
このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.
問題文
純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。
正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。
$$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$
必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103, 0.47712<\log_{10}3<0.47713$$
を用いてよい。
問題文
円$C_1:x^2+(y−\sqrt{6})^2=2$及び円$C_1$と$x$軸について対称な円$C_2$をとる。さらに、2点$(0,\sqrt{6}−\sqrt{2}),(0,−\sqrt{6}+\sqrt{2})$を通り$x$軸に垂直で、原点を中心とする円$C_3$をとり、円$C_2$の中心を通り$xy$平面に垂直な直線を$l$とする。円$C_3$を直線$l$周りに$360°$回転させてできる立体の体積を求めよ。
解答形式
正整数$a,c,e$と平方因子をもたない正整数$b,d$を用いて$(a\sqrt{b}−c\sqrt{d})π^e$と表せるので、$a+b+c+d+e$を解答してください。
問題文
$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ において，外心を $O$，内心を $I$ とします．また，三角形 $ABC$ の内接円と辺 $BC$ の接点を $D$ とします．さらに，$I$ を通り直線 $BC$ に平行な直線と直線 $AD$ との交点を $P$ とすると，以下が成立しました．
・直線 $AD$ と直線 $IO$ は直交する．
・$AP=15,DP=8$
$AI$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せます．
ところで，$\cal{AB}=a,\cal{AC}=(b\ \mathrm{mod}\ a)$ なる三角形 $\cal{ABC}$ の内心を $\cal{I}$，内接円 $\omega$ と辺 $\cal CA,AB$ との接点をそれぞれ $\cal E,F$ とします．三角形 $\cal ABE$ の外接円と三角形 $\cal ACF$ の外接円が $\omega$ 上で交わっているとき，辺 $\cal BC$ の長さを求めてください．ただし，求める長さは，正整数 $c,d$ を用いて $c-\sqrt{d}$ と表せます．ただし，$(b\ \mathrm{mod}\ a)$ で $b$ を $a$ で割った余りを表します．
ところで，$n=d-2c-4$ とします．Furinaくんは，以下のような問題Xを作りましたが，数値設定に悩んでいます．
問題X：$XY=n,YZ=p,ZX=q$ なる三角形 $XYZ$ の内心を $ぴ$，$\angle X$ 内の傍心を $か$ とします．$ぴか$ の長さを求めてください．
Furinaくんは，解答形式を奇麗にしたいため，$ぴか^2$ が正整数になるようにしたく，さらに $ぴか^2$ が $p$ で割り切れないようにしたいといいます．このようなことが可能な奇素数の組 $(p,q)$ すべてについて，$p+q$ の総積を求めてください．
追記 $\angle A$ 内の傍心とありましたが，これは $\angle X$ 内の傍心のことです．現在は訂正されています．
解答形式
半角整数値で解答してください．