数学の問題一覧
問題文
nを自然数、T(n)をcosθの多項式としてT(n)＝cosnθと定める。このとき、以下の漸化式が成り立つことを与える。
$$T(n+2)-2cosθ×T(n+1)+T(n)＝0$$
k,m,s,t,u,a,b,cを自然数、p,qを素数、θを実数とする。ただし、k≧3，a
問題文
完全数たる半素数を全て求めよ。
註
完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$
半素数：$2$ つの素数の積で表される数。
解答形式
解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。
問題文
あなたは今日突然術式が覚醒し$,$ 任意の結界で死滅回遊への参加を宣誓することになりました。
死滅回遊に参加したあなたは$1$日に$1$度だけ敵に遭遇し$,$ 各日の遭遇については$,$ 遭遇した敵が術師である確率が $\dfrac{1}{3}$$,$ 非術師である確率が $\dfrac{2}{3}$ である。
あなたは各日 $k＝1,2,…,19$ について$,$ 遭遇する前に確率 $p_k (0
問題文
正十二角形ABCDEFGHIJKL があります。
袋の中に A〜L までの文字が書かれた12枚のカードが入っています。この袋からカードを1枚引いては戻す作業を 5回 繰り返します。
引いたカードに記された頂点同士を、円周上の順番に従って結び、多角形を作ります。ただし、以下のルールに従うものとします。
同じ頂点を複数回引いた場合は、1つの頂点としてカウントする。
選ばれた頂点の種類が2種類以下の場合は、多角形ができないものとして面積を0とする。
結んだ線分が多角形の内部で交差しないよう、頂点を結ぶ。
このとき、形成された多角形の面積が、もとの正十二角形の面積のちょうど 1/3 になる確率を求めなさい。
解答形式
解答はx/yと表せられるのでx+yの値を答えなさい
問題文
$\boxed{1}, \boxed{-1}, \boxed{1+i}, \boxed{1-i}$ の4枚のカードから無作為に1枚取り出して，書かれている数字を記録して，元に戻す操作を $n$ 回繰り返す。$k$ 回目に取り出したカードに書かれてる数を $X_k$ とする。
$\displaystyle P_n=\prod_{k=1}^{n} X_k$ が正の実数になる確率を $n$ を用いて表してください。
解答形式
$n$ が奇数のとき
$P_n=\dfrac 1a\left(b+\left(\dfrac dc\right)^{n-1}\right)$
$n$ が偶数のとき
$P_n=\displaystyle\dfrac 1e\left(f+\left(\dfrac hg\right)^{n-1}
+\left(\dfrac ji\right)^{\frac{ln}{k}-m}\right)$
と表せるので，$a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m$ の値を入力してください。
※$n$ が紛らわしいので注意
$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\log_{e^{n}}\,{}_{2n}\mathrm{C}_{n}$$を求めてください。
解答形式
半角で数字のみ入力してください。
・答えが分数になる場合は分母と分子の和を答えてください。
(例: $\dfrac{1}{2}$ → $3$を入力する )
・答えに$\pi$を含む場合は$\pi=3$として答えてください。
(例: $2\pi$ → $6$を入力する，$\dfrac{\pi}{2}$ → $5$を入力する )
・答えに$\log$を含む場合は$a\log b$となる場合も$\log b^a$として真数のみ答えてください。
(例: $2\log 2$ → $4$を入力する )
・上記の例に当てはまらない場合は$0$と入力してください。($0$に収束する場合も$0$と入力します)
問題文
$y=xe^x$の第$n$次導関数を$y^{(n)}$とし，
そのグラフの変曲点の$y$座標を$Y_{n+1}$とおく。
$\sum_{k=1}^{\infty} Y_k$
を求めよ。ただし，答えのみ記せ。
問題文
内角がすべて90°となる三角形を構成せよ。
解答形式
文章でまとめなさい。
${}$ 西暦2026年問題第9弾です。24時を回って、日付が変わってしまいました。僕の西暦問題では珍しく代数・解析分野からの出題となっています。さらにいうと、前回の問題と同じく$2026$を$2+2\sqrt{6}$と解釈する強引さを見せています。そんな珍しさと強引さを味わいながらお楽しみください。
解答形式
${}$ 解答は求める解の個数をそのまま半角で入力してください。
（例）109個 → $\color{blue}{109}$
なお、解が存在しない（不能）場合は$\color{blue}{0}$と、解が無数に存在する（不定）場合は$\color{blue}{\mathrm{inf}}$と入力してください。