数学の問題一覧

問題文

$\displaystyle \frac{xy}{2x+y}=\frac{1}{y}$ を満たす整数 $(x,y)$ の組をすべて求めよ。

解答形式

各組を1行ごとに入力してください。ただし，$x$ の値が小さい順に1行目から入力し，さらに $x$ の値が同じ場合は，$y$ の値が小さい順に入力してください。
例）答えが$(x,y)=(0,1),(0,2),(-1,2)$ のとき
（1行目）-1,2
（2行目）0,1
（3行目）0,2

問題文

実数 $a,b$ が $a^{2}+b^{2}\leqq2$ を満たしているとき，直線 $y=(a+b)x+ab$ の動く範囲を図示せよ。

解答形式

領域を表す不等式を答えてください。なお，最も簡単な形での領域を答えてください。

$$
\int_{cos60°}^{tan45°}\quad(\sqrt{\sqrt{{m}^4+8{m}^3+24{m}^2+32{m}+16}})dm\\について積分をして下さい。
$$
$$
(1)\frac{9}{7}(2)\frac{10}{7}(3)\frac{11}{8}(4)\frac{12}{5}
$$

関数列 $\{f_n\}_{n=0,1,\dots}$ が以下を満たします.

• $f_{0}(x)=e^{e^x}$
• $f_{n}(x)=\dfrac{d}{dx}f_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\dots)$.

また, 実数列$\{A_n\}_{n=1,2,\dots}, \{B_n\}_{n=1,2,\dots}$を以下のように定義します.

• $\displaystyle A_n=\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}f_{n}(x)$ .
• $\displaystyle B_n=\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}\big(e^{-x}f_{n}(x)-A_n)$.

$B_{24}$ の値を求めてください.

$$
2直線y=(3a+2)x+6,y=-(a+2)x+4について\\次の問に答えて下さい。
$$
$$
(ⅰ)2直線が垂直であるとき、aの値を示して下さい。
$$
$$
(1)-1,-\frac{1}{2},(2)-2,-\frac{2}{3}(3)-3,-\frac{3}{4}(4)-4,-\frac{4}{5}
$$
$$
(ⅱ)a<0における解の小さい方のとき、\\2直線を示して下さい。
$$
$$
(1)\begin{cases}y=x+5\\y=1\end{cases}
(2)\begin{cases}y=-x+5\\y=2\end{cases}
(3)\begin{cases}y=x+5\\y=3\end{cases}
(4)\begin{cases}y=-x+6\\y=4\end{cases}
$$

$$
方程式3^{(acos60°+btan45°)^{2}}=(\frac{1} {\sqrt3})^{a-2absin30゜-2{b}^2}\\におけるaの式をg(a)とするとき、最小値、aを答えて下さい。
$$
$$
(1)-\frac{1}{14},1
(2)-\frac{1}{15},0
(3)-\frac{1}{16},-1
(4)-\frac{1}{17},0
$$

$$
｛AB+2B+B=7｜0≦A≦2,0<B≦5｝についてA∩Bを答えて下さい。
$$
$$
(1)0,1(2)1,2(3)2,3(4)0,3
$$

$$
｛AB+A+B=7|0≦A≦1,0≦B≦6｝についてA∩Bを答えて下さい。
$$
$$
(1)0,1
(2)1,2
(3)2,3
(4)3,4
$$

$$
y=2x^2+3ax+\begin{eqnarray}f(x)&=&ax^2+bx+1\end{eqnarray}
$$
$$
(1) f'(x)を答えて下さい。
$$
$$
(1)f'(x)=ax+2b(2)f'(x)=ax+3b(3)f'(x)=2ax+b(4)f'(x)=3ax+b
$$
$$
(2)最小値、xの値を答えて下さい。
$$
$$
(1)\begin{cases}-\frac{21}{4}{a}^2+4b\\-\frac{1}{4}a\end{cases}
(2)\begin{cases}-\frac{23}{5}{a}^2+3b\\-\frac{2}{4}a\end{cases}
(3)\begin{cases}-\frac{24}{7}{a}^2+2b\\-\frac{3}{4}a\end{cases}
(4)\begin{cases}-\frac{25}{8}{a}^2+b\\-\frac{5}{4}a\end{cases}
$$
$$
(3)（２）の最小値をg(x)と置くとき、｜b｜=－a+1のb＜０における
　　g'(x)を答えて下さい。
$$
$$
(1)-\frac{21}{4}a+4
(2)-\frac{22}{3}a+5
(3)-\frac{24}{3}a+2
(4)-\frac{25}{4}a+1
$$
$$
(4) g'(x)>125が初めて、満たされる値を答えて下さい。
$$
$$
(1)-10(2)-20(3)-30(4)-40
$$

問題文

実数に対して定義され実数値をとる関数 $f$ であって，任意の実数 $x,y$ に対して

$$f(x)f(y)=f(yf(x)+1)-2x$$

を満たすものが存在します．このような $f$ について，$f(3939)$ の値としてありうるものの総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数になるので，半角数字で解答してください。

$$
方程式3^{2x^2+6x+5}=(\frac{1}{\sqrt3})^{2i^2}の大きい方の解を答えて下さい。
$$

$$
方程式3^{2x^2+6x+5}=(\frac{1}{\sqrt3})^{2i^2}の小さい方の解を答えてください。
$$
$$
(1)-2
(2)-1
(3)2
(4)1
$$