数学の問題一覧
問題
以下の解答欄を埋めよ。
正の実数に対して定義され、実数値をとる連続関数 $f(x)$ が、任意の正の実数 $x$ に対して $$f(x^2)=f(x)+\frac{\log_2{x}}{x+1}$$
を満たしている。このとき、
$$
f(16)-f(8)=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエオ}}
$$
である。なお、このような $f$ は確かに存在し、上記の値は一意に定まることが証明できる。
解答形式
解答欄ア〜オには、それぞれ0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えること。
問題
以下の問いに答えよ。
（１）$a,b,c,d$ はいずれも $0$ でない実数の定数で、 $ad-bc\neq 0$ を満たしている。実数 $\displaystyle x\neq -\frac{d}{c} $ に対して関数 $f(x)$ を
$$
\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}
$$
と定義すると、
$$
\frac{3\left(f''(x)\right)^2-2f'(x)f'''(x)}{\left(f'(x)\right)^2}
$$
の値は $a,b,c,d$ や $x$ によらないある整数となる。その値を求めよ。
（２）実数 $x$ に対して関数 $g(x)$ を
$$
\displaystyle g(x)=\frac{e^{4x+816}-e^{-4x-816}} {e^{4x+817}+e^{-4x-817}} \ \ \
$$
と定義すると、
$$
\displaystyle \frac{3\left(g''(x)\right)^2-2g'(x)g'''(x)}{\left(g'(x)\right)^2}
$$
の値は $x$ によらないある整数となる。その値を求めよ。
解答形式
0から9までの半角数字および-(マイナス)のうち、必要なものを用いて解答せよ。
（１）の答えを1行目に入力せよ。
（２）の答えを2行目に入力せよ。
たとえば、（１）に $816$、（２）に $-817$ と回答したいときは、
816
-817
と入力せよ。
問題
複素数の定数 $\alpha$ に対し、$|z- \alpha\bar{z}|\leq1-|\alpha|^2$ を満たす複素数 $z$ 全体の集合を $D$ とおく。以下の解答欄を埋めよ。
（１）$\alpha=0$ のとき、$D$ は複素数平面上で原点を中心とする半径 $\fbox{ア}$ の円の周上および内部になる。
次に $|\alpha|>0$ の場合を考える。以下、$\displaystyle \arg \alpha=\frac{6}{11}\pi$ とする。
（２） $|\alpha|=1$ のとき、$D$ は複素数平面上で原点を通る直線となり、偏角が $\displaystyle \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウエ}}\pi,\ \frac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}\pi$ であるような複素数を全て含む。ただし $0\leq \displaystyle \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウエ}}\pi < \frac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}\pi<2\pi$ とする。
（３） $0<|\alpha|<1$ の場合を考えよう。原点を中心として $z$ を反時計回りに $\displaystyle -\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウエ}}\pi$ だけ回転させた複素数を $w$ とおく(ただし $z=0$ のときは $w=0$ とする)。$z$ が $|z- \alpha\bar{z}|\leq1-|\alpha|^2$ を満たして動くときに $w$ が動く領域について考察することで、$D$ に対応する複素数平面上の図形が明らかになる。特に $|\alpha|=0.4$ のとき、$D$ の面積は $\displaystyle\frac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}\pi$ である。
解答形式
解答欄ア〜シには、それぞれ0から9までの数字が1つ入る。同じカタカナの解答欄には同じ数字が入る。
（１）の答えとして、文字「ア」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「イウエオカキク」を半角で2行目に入力せよ。
（３）の答えとして、文字列「ケコサシ」を半角で3行目に入力せよ。
なお、分数はできるだけ約分された形となるように答えること。
問題タイトル：タイトル：二重境界・反転素数・桁和整合・合同一致
3桁の正の整数 n が次の条件を満たす：
- n + 1 は完全平方数である。
- n − 1 は完全立方数である。
- n の十進表記を反転して得られる整数 r は素数である。
- n と r の各桁の和は等しい。
- |n − r| は 27 の倍数である。
このような n を求めなさい。
（解答は整数を1つ、例：123）
問題文タイトル：平方境界・反転素数・合同整合
3桁の正の整数 n が次の条件を満たす：
- n + 1 は完全平方数である。
- n の十進表記を反転して得られる整数 r は素数である。
- |n − r| は 18 の倍数である。
- n は 13 の倍数である。
このような n を求めなさい。
（解答は整数を1つ、例：123）
問題文を入力してください
解答形式
例）ひらがなで入力してください。
問題文タイトル：平方境界・反転・桁和整合
3桁の正の整数 n が次の条件を満たす：
- n + 1 は完全平方数である。
- n の十進表記を反転して得られる整数 r は素数である。
- n の各桁の和は r の各桁の和と等しい。
- n は 11 の倍数である。
このような n を求めなさい。
（解答は整数を1つ、例：123）
問題文を入力してください
解答形式
例）ひらがなで入力してください。
問タイトル：立方境界・反転・整合の三位一体
3桁の正の整数 n が次の条件を満たす：
- n + 1 は完全立方数である。
- n の十進表記を反転して得られる整数 r は素数である。
- |n − r| / 9 は素数である。
- n は 7 の倍数である。
このような n を求めなさい。
（解答は整数を1つ、例：123）
題文
問題文を入力してください
解答形式
例）ひらがなで入力してください。
問題文
問題文を入タイトル：立方数の一歩手前と素数反転（競技）
3桁の正の整数 $n$ が次の条件を満たす：
- $n+1$ は完全立方数である。
- $n$ は 7 の倍数である。
- $n$ の十進表記を逆から読んで得られる整数（反転数）が素数である。
このような $n$ を求めなさい。
（解答は整数を1つ、例：123）
力してください
解答形式
例）ひらがなで入力してください。
タイトル：三条件で定まる点と最短距離条件（大学レベル）
平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(12,0)$、点 $C(4,9)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとする：
- 距離比 $\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi^3$（ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
- 角度条件 $\angle APC = 45^\circ$
- 直線 $BC$ からの距離が最小となる位置を選ぶ。
点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）
問題文
問題文を入力してください
解答形式
例）ひらがなで入力してください。
問題文タイトル：三条件で定まる点と魂面積比（上級・II）
平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(10,0)$、点 $C(4,8)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとし、解の一意性のため $y>5$ とする：
- 距離比 $\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi$ （ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
- 角度条件 $\angle BPC = 120^\circ$
点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）
問題文を入力してください
解答形式
例）ひらがなで入力してください。
問題タイトル：三条件で定まる点と魂比率（上級）
平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(8,0)$、点 $C(2,6)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとし、解の一意性のため $y>0$ とする：
- 距離比 $\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi$ （ただし $\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
- 角度条件 $\angle APC = 60^\circ$
点 $P$ の座標を求めなさい。
（解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例：1.23, 4.56）
文
問題文を入力してください
解答形式
例）ひらがなで入力してください。