数学の問題一覧
問題
$a,b$ を実数とする．$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ は $f(1/2)\cdot f(1/3)=4$ を満たしている．$f(2)+f(3)$ としてありうる最小の正の整数値を求めよ．
問題文
$\{1,2,…,9999\}$ の部分集合 $S$ であり，任意の $S$ の要素 $a,b(a\neq b)$ について $a+b$ を行ったときに繰り上がりが起きない（どの桁も $10$ を超えない）ようなものについて，その要素数の最大値を求めよ．
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について線分 $AC$ 上に点 $P$ を取り，線分 $PC$ の垂直二等分線と線分
$BC$ が交わったのでその点を $D$ とする．線分 $AB$ 上の点 $E$ が $ED\parallel AC$ を満たしている．三角形 $PED$ の外接円と線分 $BC$ が $D$ でない点 $F$ で交わっており，$$FA=FC=7, BD=4, PD=5$$ が成り立った．このとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
問題文
素数の組 $(p, q, r, s, t)$ について
$$\dfrac{p^4 + q^4 + r^4 + s^4 + t^4 + 340}{8}$$ としてありうる最小の素数値を求めよ．
問題文
任意の正の整数 $m, n(m\leq n)$ について $\displaystyle |\sum_{i=m}^{n} a_i| \leq 2$
が成り立つような整数列 $a_i (i\geq 1)$ について，$(a_1, a_2, …, a_{100})$ としてありうる組は $N$ 個存在する．$N$ を素数 $97$ で割った余りを求めよ．
訂正: 「非負整数列」と誤りがありましたが，正しくは整数列です．申し訳ありません．
自然数 n に対して、次の等式が成り立つことを示しなさい。
1+2+3+⋯+𝑛=𝑛²−(1+2+3+⋯+(𝑛−1))
問題文
$a_{1},a_{2}, \cdots , a_{1500}$ は $1$ 以上 $3$ 以下の整数からなる数列であり，$a_{1501}=a_{1} =1,a_{1502}=a_{2}$ と定義すると全ての $1500$ 以下の正整数 $k$ で $a_{k+1} \neq a_{k}$ が成り立ち，かつ $1500$ 以下の正整数 $i$ のうち，
・$(a_{i},a_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $132$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
・$(a_{i},a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $123$ 個
ずつ存在します．この数列としてありうるものの数が $3$ で割れる最大の回数を求めてください．(電卓の使用を推奨します．)
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
一辺の長さが $10$ である正方形 $ABCD$ があり，辺 $AB,BC,CD$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ を三角形 $PQR$ が $PQ＝QR$ の直角三角形になるようにとると，五角形 $APQRD$ の周の長さは $36$ であった．このとき五角形 $APQRD$ の面積を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
三角形 $ABC$ において内接円と辺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ とします．直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でないものを $G$ とすると，
$$DG＝BF,\quad AD＝9,\quad AF＝4$$
が成立したので線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
三角形 $ABC$ があり，線分 $BC$ 上に点 $P$ をとる．三角形 $ABP$$,$ 三角形 $ACP$ の内心をそれぞれ $I,J$ とすると，
$$IJ \parallel BC,\quad AB:AC=4:5,\quad BP=8,\quad CP=9$$
が成立したので三角形 $ABC$ の面積を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ があり，外接円を $\Gamma$ ，$A$ 混線内接円を $\Omega$ とします．$\Gamma$ と $\Omega$ の接点を $P$ とし，$\Gamma$ の点 $A$ を含む方の弧 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $MP$ と $\Omega$ の交点のうち $P$ でない方を $X$ ，線分 $AP$ と $\Omega$ の交点のうち $P$ でない方を $Y$ ，直線 $AX$ と $\Gamma$ の交点のうち $A$ でない方を $Z$ とすると以下が成立しました．
$$XY=3,\quad XZ=15,\quad PY=10$$
このとき線分 $AM$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．