数学の問題一覧

問題文

$AB\lt AC\lt BC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり，点 $C$ から $\angle BAC$ の二等分線に下ろした垂線の足を $D$ とします．$BC$ 上に2点 $P,Q$ を取ると，$4$ 点 $APQD$ は半径が $\sqrt{66}$ の同一円周上にあり，以下が成り立ちました．
$$AB=BQ，AC=CP，PQ=12$$
この時，三角形 $ADC$ の面積を求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$\angle BAC > 90^\circ$ なる鈍角三角形 $ABC$ とその外接円 $\Gamma$ があります．点 $B$ における円 $\Gamma$ の接線 $l$ 上に点 $D$ を $\angle DBC > 90^\circ$ となるように取り，線分 $DC$ と 円 $\Gamma$ の交点を $E$ とします．すると以下が成り立ちました．
$$2\angle DBE = \angle EBC，BD=15，DE=9，AB=BE$$
この時，$AB$ の長さを求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

漸化式
$$a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}-na_n，a_1=0，a_2=2$$
があります．$a_{n}$ が $n$ で割り切れない $50$ 以下の $n$ の個数を求めてください．ただし，$n=1$ を含みます．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

$AB<AC$ であり，$\angle BAC > 90^\circ$ なる三角形 $ABC$ があり，外接円の中心を $O$ とします．また，点 $C$ を通り点 $A$ で直線 $AB$ に接する円を $\Gamma_{1}$ ，中心を $P$ ，点 $B$ を通り点 $A$ で直線 $AC$ に接する円を $\Gamma_{2}$，中心を $Q$ とします．$\Gamma_{1}，\Gamma_{2}$ の交点のうち，点 $A$ ではないものを $R$ とすると，
$$AP=14,AQ=10，OR=6$$
が成り立ちました．$AC$ の長さを求めて下さい．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

数列 ${a_n}$ は $1\sim 100$ の正整数の並び替えであり，以下が成り立っています．

• $1\leqq m\leqq 99$ に対して$a_{m}+a_{m+1}\equiv 1\pmod{2}$
• $1\leqq n\leqq 98$ に対して$a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}\equiv 0\pmod{3}$

数列 ${a_n}$ としてありうるものは何通りありますか．

解答形式

解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．

例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$

問題文

原点を中心とする単位円 $C_0$ と，直線 $l:x=a$ $(|a| \leq 1)$ に対して，$C_0$ が $l$ から切り取る線分を直径とする円 $C_1$ を考える（ただし，$C_0$ と $l$ が接する場合は，その接点を $C_1$ とする）。
　実数 $a$ を $-1$ から $1$ まで連続的に動かすとき，$C_1$ の通過する領域を求めよ。また，その領域の面積を求めよ。

註

「円」と「円板」とは厳密に区別すること（例えば，$x^2+y^2=1$ は前者，$x^2+y^2 \leq 1$ は後者である）。 本問の $C_0$ 及び $C_1$ は「円」であって「円板」ではない。

解答形式

求める面積は，$k$ を実数として $k\pi$ と表されます。この定数の平方である $k^2$ を入力してください。

問題文

四角形$ABCD$があります.ここで三角形$ABC$は直角二等辺三角形であり,また$\angle ADC=90^\circ$です.
直線$AC$と直線$BD$の交点を$P$とするとき,$PC=4$,$AC=12$でした.
このとき,線分$CD$の長さを求めてください.

解答形式

線分$CD$の長さは互いに素な正の整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{\sqrt{b}}$と表せるので,
$a+b$の値を半角数字で解答してください.

問題文

正の整数$x$に対して,$S(x)$を$x$の桁和とします.例えば$S(2026)=2+0+2+6=10$です.
$x=S(x)+S(S(x))$となるような正の整数$x$を全て求め,その総和を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

問題文

$8\times8$のマス目からなるオセロ盤に，黒石が 4 つ置かれています．tomorunn君は，石が置かれていないマスに白石を 1 つ置く操作を，すべてのマスに石が置かれるまで繰り返します．
「ある白石を置いたとき，その石と既に置かれている白石で一直線（縦・横・斜めの計 8 方向）に挟まれた黒石をすべて白石に変える」というルールの下で，白石を置く順序を適切に選ぶことで，最終的に盤面に残る黒石の個数を 3 つ以下にできるような，黒石の初期配置は何通りありますか？
ただし，最終的に盤面に残る黒石の個数は操作の順番に依らないことが保証されます．

解答形式

例）半角数字で回答してください。

問題文

2,3,1/6が書かれた3枚のカードがある。カードを取り出し、元に戻す操作を3n回行う。また、それぞれのカードは等確率で取り出すものとする。3n回の操作で、引いたカードに書かれた数の総積が整数となる確率の極限値を求めよ

解答形式

例）ひらがなで入力して下さい
答えのみ

問題文

以下を満たす集合の組 $(S_1,S_2,\ldots,S_8)$ は何個ありますか．

• $8$ 以下の任意の正整数 $n$ に対して $S_n\in\{1,2,\ldots,8\},|S_n|\in\{1,2\}$
• $7$ 以下の任意の正整数 $m$ に対して $\mathrm{min}(S_{m+1})=\mathrm{max}(S_m)$

ただし集合 $T$ に対して「$T$ の要素数」「$T$ の要素の最小値」「$T$ の要素の最大値」をそれぞれ $|T|,\mathrm{min}(T),\mathrm{max}(T)$ で表すこととします．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$ とし，直線 $BI$ と線分 $AC$ の交点を $D$ とすると，以下が成立しました．
$$AB=8,\quad AC=10,\quad AD=AI$$
このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．