数学の問題一覧
問題文
コンテスト後追記：本問は条件過剰により図が存在しませんでした、本当に申し訳ないです。
三角形 $ABC$ について，辺 $AC$ 上に点 $D$ をとり，三角形 $BCD$ の内心を $I$ とします．また，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，直線 $AM,BD$ の交点を $P$ とします．このとき，$3$ 点 $A,I,M$ は同一直線上にあり，さらに
$$AB=10，AP=9，PI=3，IM=5$$
が成立しました．線分 $CP$ の長さの $2$ 乗を求めてください．
解答形式
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
問題文
$n$を$2$以上の自然数としたとき、$n^4+4^n$が素数であるような$n$は存在するか。
解答形式
存在するなら、1と回答し、存在しないなら2と回答してください。
ニブイチです。勘で当たるでしょう。
問題文
正の整数$n$について、以下の様に$f(n)$を定める：
$1$以上$n$以下の整数$i$に対して、$n$と$i$の公約数の総和を$g(n,i)$とする
このとき、$f(n)=\sum_{i=1}^{n} g(n,i)$である
$1$以上$2026$以下の整数$n$について、$f(n)$の値が奇数となるような$n$の総和を求めなさい。
解答形式
例）答えで解答してください。
問題文
鋭角三角形 $ABC$ があり、その垂心を $H,$ 重心を $G,$ 外心を $O$ とすると、$$AH=18,AG=2\sqrt{65},AO=3\sqrt{26}$$であった。円 $ABC$ と、線分 $AH$ を直径とする円との交点$,$ 直線 $AG$ との交点をそれぞれ $P,Q(\neq A)$ とおく。$BC$ と $PQ$ の交点を $R$ としたとき、$BR$ の長さとして考えられるものすべての総積を求めよ。
解答形式
互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{a}{b}$ と表されるので、$a+b$ の値を解答してください。
問題文
πナポゥ君が経営するお店では， 馬 $1$ から馬 $10^9$ までの $10^9$ 種類の馬の置物を売っています．それぞれの置物は十分な個数あり，馬 $x$ の価格は $x$ 円です．
また，このお店の置物には特別な力が宿っています．置物の購入を終えたとき，あなたのパワーは購入した馬の個数を $A$，購入した馬の種類数を $B$ として $A + B^2$ になります．
例えば，$28$ 円を支払って馬 $3$ を $1$ 個，馬 $5$ を $5$ 個買ったとき、あなたのパワーは $6 + 2^2 = 10$ になります。
このとき， $314$ 円で得られるパワーの最大値を解答してください．
解答形式
算用数字で回答してください．
問題文
正整数 $N$ に対して $N$ を $2$ 進数で表したときの $0,1$ の個数をそれぞれ $p_0(N),p_1(N)$ とします．以下を満たす正整数の組 $(A,B)$ の個数を素数 $4057$ で割ったあまりを解答してください．
$$p_1(A) \geq p_0(A), \quad p_1(B) \geq p_0(B), \quad
p_1(A)+p_1(B)=2026$$
解答形式
算用数字で解答してください．
問題文
げるまにうむ君は$2029$問のテストを受けました。
$1$以上$2029$以下の整数$i$について、このテストの$i$問目の正答は$2i$です。
$i$問目について、げるまにうむ君は、$i$を解答した時、またその時に限り発狂します。
各問題について、発狂する回数は高々$1$回です。
いま、げるまにうむ君は全ての問題について$0$以上の整数を$1$つずつ解答し、その総和は$2028^{2026}-2$でした。
この時、げるまにうむ君の解答としてあり得るもの全てについて、げるまにうむ君が発狂した回数の総和を素数$2027$で割った余りを求めてください。
解答形式
答えを解答してください。