正三角形 ABC の辺 AB,BC,CA 上にそれぞれ点 P,Q,R があり,
PQ=3, QR=5, RP=7, AB=9 を満たしています.このとき,線分 AQ の長さは互いに素な整数 a,b を用いて ab と書けるので a+b の値を解答してください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
n を 3 以上の整数とする。点 O を中心とする、半径 1 の円の形をしたピザがある。ピザの周上には、等間隔に点 P1,…,Pn が並んでいる。
線分 OP1 上に、線分 OO′ の長さが d となるような点 O′ をとる。ここで 0<d<1 は定数である。ピザを線分 O′P1,…,O′Pn によって分割し、分けられた n 個のピザのうち線分 P1P2,P2P3,…,PnP1 を含む部分の面積を、それぞれ S1,…,Sn とする。
Si の 平均はもちろん ˉS=1nn∑i=1Si=πn である。では、Si の分散 σ2=1nn∑i=1(Si−ˉS)2 はどうなるだろうか。以下の空欄を埋めよ。
(1)σ2dα が d によらない定数となるような α の値は α=ア である。n=12 のとき、σ2 を具体的に計算すると
σ2=イ−√ウエdア
である。
(2)極限 limn→∞nβσ2 が 0 でない有限の値に収束するような β の値は β=オ である。d=112π のとき、その極限値は
limn→∞nオσ2=カキクケ
である。
ア〜カには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「オカキクケ」を半角で2行目に入力せよ。
なお、「ア」や「オ」には0や1が入ることもありうる。
また、分数はできるだけ約分された形で、根号の中身が最小となるように答えよ。
3行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。
AB=AC の直角二等辺三角形 ABC がある。点 D を、直線 AD と BC が平行となるように取ったところ、BD=10,CD=7 であった。このとき AB4+AD4=アイウエ である。ただし XY で線分 XY の長さを表すものとする。
ア〜エには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。
n を 3 以上の整数とする。はじめ、黒板には n−1 個の有理数 12,13,…,1n が書かれている。黒板から 2 つの有理数 x,y を選んで消し、新たに有理数 x+y1+xy を書くという操作を繰り返し行う。そして、最後に黒板に残った 1 つの有理数を既約分数として表すと、分子が 899 で割り切れた。
このようなことが起こる最小の n を求めよ。
条件を満たす n の最小値を半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。
焼き鳥はタレに限るという垂川さんと、いやいや塩しかありえないという塩見さんは、激論の末、ゲームで決着をつけることになった。
N,M をそれぞれ 1 以上 2024 以下の整数とする。同じ大きさの焼き鳥が N×M の長方形状に並べられている。白と黒の串がたくさんある。垂川さんと塩見さんは、縦横いずれかの列または行を選んで、白または黒の串を端まで刺し通すという行動を、垂川さんから始めて交互に行う。ただし、各列または行にはそれぞれ 1 本の串しか刺し通すことができない。
合計 N+M 本の串を刺し終わったとき、刺された串の色が縦と横で同じ焼き鳥の数を S、異なる焼き鳥の数を D とする。S>D ならば垂川さんの勝ち、S<D なら塩見さんの勝ち、S=D なら引き分けとする。
垂川さんの行動にかかわらず、うまく行動すれば塩見さんが必ず勝てるような組 (N,M) はいくつあるか。
条件を満たす組 (N,M) の数を半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。