数学の問題一覧

問題文

接点・共通領域を持たない円A,Bがあり，これらの中心を通る直線lとの交点をP,Q,R,Sとします．(P≠Q≠R≠S)
　但しP,QがAの円周上，R,SがBの円周上にあり，P,Q,R,Sの順に並ぶとします．

またPS,QRの長さをそれぞれa,bと置きます．

この時A,Bの共通内接線の長さが2025となるような(a,b)の組として考えられるものは何通りありますか．

解答形式

答えだけ(答えが1通りなら"1"だけ)を半角数字で解答して下さい．

問題文

$10000$ 以下の正整数の組 $(x,y,z)$であって次を満たすようなものについて， $xyz$ の総和を素数 $2113$ で割った商を求めて下さい．

$$ 2113\sqrt{x^2+y^2+z^2}=25x+60y+2112z$$

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

半径$66$の円に内接する正$66$角形の対角線(各辺も含む)の長さの$66$乗和を求めて下さい．
但しある長さの$𝑛$乗和とは，与えられた長さ$𝑃_1,𝑃_2…$について$𝑃_1^n + 𝑃_2^n …$を指します．

解答形式

答えは非常に大きくなる恐れがあるので,$2025$で割った余りを求めて下さい.
4/26 19:55 誤った答えが入力されていました。大変申し訳ありません。

問題文

$R_{a}をa$桁のレピュニット数とします.
$R_{24}$を素因数分解しなさい.
但しレピュニット数とは,各桁が全て$1$である数のことを指します.

解答形式

ある相異なる正整数$a_{1}…a_{10}$を用いて,
$R_{24}=a_{1} \times a_{2} \times … \times a_{10} $と書けるので,$a_{1}+…+a_{10}$の値を求め,その値を半角数字で入力して下さい.

問題文

SKG学院の学園祭では,下のような$5$マス$\times5$マスの盤を用いて,次のようなゲームを行う.

・お客さんは,12個の碁石を全てマスの上に置く.
・一マスには一つまでしか碁石は置けない.
・この時スコアを次のように定める.
スコア：各行,各列について,碁石が偶数個置かれているものの個数.

スコアが10となるような,碁石の置き方の一例を答えよ.

解答形式

置かないマスは0,置くマスは1で表す.
例えば,一番右上,一番左上にのみ碁石を置く.この置き方は下のように書くものとする.

10001
00000
00000
00000
00000

またこの時,スコアは8である.

問題文

SKG学院の文化祭では,1から10の目が一つずつ書かれた十面体の歪んだダイスを配布しています.このダイス十個に$1$から$10$までの番号をつけることにしました.
ここで以下のような事実が分かっています.
また$1≦n≦10$を満たす任意の整数$n$について,番号$s$がついたダイスを一回振って$n$の目が出る確率を$a_{n^s}$と書くことにします.

・$a_{1^s}:a_{2^s}…a_{9^s}:a_{10^s}=1^s:2^s\cdots9^s:10^s$を満たす.

この十個のダイスを同時に一回振る時,出目の積の期待値を求めて下さい.

解答形式

半角数字で入力して下さい.

問題文

次の虫食い算について,SUKEN=？

解答形式

半角数字で入力して下さい.
但しS≠E≠I≠K≠O≠U≠Nとします.

問題文

ある町 $A$ がある. 町 $A$ にはいくつかの家と$,$それらを双方向に結ぶいくつかの道路からなる. さらに$,$ 以下の条件を満たす.

・家は $2025$ 個からなり$,$ $1$$,$ $2$$,$ ⋯$,$ $2025$の番号がつけられている.
・道路は $2024$ 本ある.
・どの家からどの家へまでもいくつかの道路を通って移動可能である.

また$,$ 家 $i$ の 便利さ を以下のように定義します. ( $i$ の番号が付けられている家を家 $i$ と呼びます. )
$$
i \times (家iからちょうど1本の道路を通って移動可能な家の数)
$$

さらに$,$ 町 $A$ の スコア を$,$ すべての家の 便利さ の総和と定義します.

道路の結ばれ方としてありうるものすべてについて$,$ 町 $A$ の スコア の総和の正の約数の個数を求めてください.

解答形式

スコア の総和の正の約数の個数を求め$,$ 1行に半角で解答してください.
必要であれば電卓や素数表を用いてください.

正の整数 $m$ に対し,
$$f(m)=\sum_{k=0}^m(k+1)k2^k\frac{(2m-k-1)!}{(m-k)!}$$
と置きます.このとき, $f(5000)$ を素数 $5003$ で割った余りを求めてください.

問題文

それぞれの面に $1,2,3,4,6,9$ が書かれたどの面も等確率に出る $6$ 面サイコロ $D$ があります．
$D$ を $1018$ 回転がしたときを考える．その出た目の総積を $T$ とし，そのときのスコアを以下のように定義します．

• $T$ が平方数のとき， $T$ の正の約数の個数をスコアとする．
• $T$ が平方数でないとき， $T$ の正の約数のうち $6$ の倍数であるものの個数をスコアとする．

スコアの期待値が非負整数 $A$ を用いて $\dfrac{A}{6^{1018}}$ と表せるので $A$ を素数 $1013$ で割ったあまりを求めてください．

解答形式

半角数字で非負整数を入力してください。

$a,b,c\ (a\neq0)$ を実数とする．放物線 $y=ax^2+bx+c$ が，$3$ 直線
$\ y=x-2,\ y=-3x+2,\ y=7x-3$
の全てと接するとき，$a,b,c$ の値を求めよ．

答えは，$a,b,c$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に記入せよ．ただし，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
のように記入して答えよ．

【解答例】
1
-2
-1/3

問題文

次の方程式を解いて、$x$の値をすべて求めてください。
$$x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1=0$$

解答形式

$a,b,c,d,e$のように解答してください。($π$はpiで$i$(虚数単位)はiで分数は$\frac{1}{2}$の場合は1/2のように解答してください。)