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数学の問題一覧

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KOTAKE杯005(C)


23

MrKOTAKE

公開日時: 2025年5月17日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり， $B$ から $AC$ への垂線の足を $D$ とし，重心を $G$ ，垂心を $H$ とする．このとき $4$ 点 $B,C,G,H$ は共円であり$AD＝3,CD＝5$であったので， $AB$ の長さの $2$ 乗を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: MrKOTAKE

第7問


0

sulippa

公開日時: 2025年5月16日21:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

設問7
数列 ${a_n}$ が $a_1 = 0, a_2 = 1$ および漸化式
$$ (n+1)a_{n+2} - (3n+2)a_{n+1} + 2na_n = 0 \quad (n \ge 1) $$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

第2問


0

sulippa

公開日時: 2025年5月16日21:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

問題文

設問2
容器Aには食塩 $X_0 = 10$g を含む食塩水が全量 $M_A = 100$g、容器Bには食塩 $Y_0 = 60$g を含む食塩水が全量 $M_B = 200$g 入っている。1回の操作として、以下の(i), (ii)を順に行う。
(i) 容器Aから $50$g の食塩水を取り出して容器Bに移し、よく撹拌する。
(ii) 容器Bから $50$g の食塩水を取り出して容器Aに移し、よく撹拌する。
$n$ 回の操作が終了した後の容器A, B内の食塩の質量をそれぞれ $X_n, Y_n$ とする。$X_n$ および $Y_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

第10問


1

sulippa

公開日時: 2025年5月16日21:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

問題文

数列 ${a_n}$ ($n \ge 0$) が、初期値 $a_0 = 3$ および以下の漸化式で定義されるとする。
$$a_{n+1} = a_n^2 - 2 \quad (n \ge 0)$$
この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。
ただし、黄金比を$Φ$とする。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

第5問


0

sulippa

公開日時: 2025年5月16日21:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

設問5

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 2$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n^2+2}{2a_n}$ ($n \ge 1$) を満たすとする。
一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

第4問


1

sulippa

公開日時: 2025年5月16日21:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

設問4

数列 ${a_n}$ が $a_0=1, a_1=0, a_2=-1$ および漸化式
$$ a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 2^n \quad (n \ge 0) $$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

第1問


1

sulippa

公開日時: 2025年5月16日21:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

設問1

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 1, a_2 = 4$ および漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = n \cdot 2^n$ ($n \ge 1$) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

半角1スペースで答えのみ

第9問


2

sulippa

公開日時: 2025年5月16日21:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

設問9

数列 ${a_n}$ ($a_n \in {0,1,2,3,4}$) が $a_1=1, a_2=1$ および漸化式 $a_{n+2} \equiv a_{n+1} + a_n \pmod{5}$ ($n \ge 1$) を満たすとする。$a_{2025}$ の値を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

第8問


2

sulippa

公開日時: 2025年5月16日21:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

設問8

正の数からなる数列 ${a_n}$ が $a_1 > 0$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2}$ ($n \ge 1$) を満たすとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt[3]{3n}}$ を求めよ。

解答形式

第6問


1

sulippa

公開日時: 2025年5月16日21:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

問題文

設問6

数列 ${a_n}$ が $a_1 = \sin^2 \alpha$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$) および漸化式 $a_{n+1} = 4a_n(1-a_n)$ ($n \ge 1$) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

第3問


0

sulippa

公開日時: 2025年5月16日21:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

問題文

設問3
正四面体の4つの頂点を A, B, C, D とする。点Pは、1ステップごとに、現在いる頂点と辺で結ばれた他の3つの頂点のいずれかに等確率（それぞれ確率 $1/3$）で移動する。最初に点Pは頂点Aにいるものとする。
$n$ 回移動後に点Pが頂点Aにいる確率 $a_n$ を求めよ。

解答形式

対数の性質


5

skimer

公開日時: 2025年5月14日20:54 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

数学 高校数学 対数 基礎

問題文

$\log_2 25$ の小数部分をbとする
このとき、$\log_{10}2$ をbを用いて表せ

解答形式

答えのみ