数学の問題一覧

$$
|2^{n-1}+1|
$$
$$
nが、整数のとき、上の式は、必ず（α）である。
$$
$$
(1)負(2)正
$$

問題文

実数の数列 $\lbrace a_{n} \rbrace (n=1,2,...)$ は
$$
|a_{n+1}|=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}
$$
を満たしている。このとき，$a_{n}=0$ なる自然数 $n$ が存在するならば，$a_{1}+a_{2}=0$ であることを示せ。

解答形式

証明してください。

問題文

$n$を自然数とする。$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} n^k$を$8$で割った余りを$a_{n}$、 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$とする。すべての$n$に対して$a_{n+l}=a_{n}$が成り立つような自然数$l$の最小値と$S_{m+2025}=2S_{m}$が成り立つような自然数$m$の最大値を求めよ。

解答形式

1行目に$l$を,2行目に$m$を半角英数字で解答してください。例えば$l=123,m=456$とする場合

123
456

としてください。

$$
\int_{0}^{log_{2}{4}}\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{m}^{1048576}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}dm\\を積分して下さい。
$$

$$
||||||i^{11}||||||\\について求めて下さい。(i<0のとき）
$$

問題

次の関数が $|x-a|\leqq 1$ のもとで負の値と素数の値域幅をとるとき，$\sqrt b$ の平均を求めよ．

• 二次関数 $y=f(x)$ のグラフは曲線 $y=x^2$ と接しつつ点 $(a,b)$ で対称となる．

解答形式

$100$ 倍した整数部分を半角数字で入力してください．

※　問題を一部修正しました．今後も手直しが続く可能性があります．

問題

次の関数 $x,y$ における定数 $c$ の命題「つねに $x\geqq 3$ ならば $y$ の値域幅は $c$ 以上」は真か．$$0\leqq t\leqq 2c,\quad x=|t-c|+|t-3|+|t-5|,\quad y=|||t-1|-2|-3|$$

解答形式

逆，裏，対偶それぞれの整数反例の和を半角数字で入力してください．

$$
(2m+n-1)+a(m+4n+3)=0の点(m,n)において、\\(1,3)を通る定点のaの値を求めて下さい。
$$

$$
|\int_{0}^{log_{2}{1024}}\frac{{m}^2+2m-3}{m-1}dm\int_{0}^{cos60°}\frac{{n}^2+2n-3}{n+3}dn|\\について積分して下さい。
$$

$$
|\frac{cos180°}{sin60°}||\frac{cos60°}{tan135°}||\frac{sin90°}{cos180°}|
$$

問題文

(1+i)^2を計算してください。

解答形式

半角で入力してください。

問題文

正$N$角形の頂点から3点選び三角形を作るとき，合同ではない三角形は何通りできるか。$a,b,c$に当てはまる非負整数と$e$に当てはまる式を答えてください。
$$
n( \{ (x, y, z)\, |\, \boxed{\strut \,a\,}x+\boxed{\strut \,b\,}y+\boxed{\strut \,c\,}z=\boxed{\strut \,e\,},\: x,\! y,\! z\! \in\! {\mathbb N} \})
$$

ただし${\mathbb N}$は非負整数全体の集合とし，${n({\mathbb A})}$は集合${{\mathbb A}}$の要素数を表します。

解答形式

1行目に$a,b,c$をスペース区切りで答えてください。$a+b+c$が最小になるよう答えてください。$a,b,c$は順不同です。
2行目に$e$をスペースを含めず答えてください。
例)
1 1 1
N+10