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問題文
定点 $\mathrm{P_0}$, $\mathrm{P}$ があり, $\mathrm{P_0 P}=1$ を満たしている.
線分 $\mathrm{P_0 P}$ の中点を $\mathrm{P_1}$,
線分 $\mathrm{P_1 P}$ の中点を $\mathrm{P_2}$,
線分 $\mathrm{P_2 P}$ の中点を $\mathrm{P_3}$, ... というように, $n\in\mathbb{N}$ に対し, 点 $\mathrm{P_\mathit{n}}$ を 線分 $\mathrm{P_{\mathit{n}-1}\mathrm{P}}$ の中点として, 線分 $\mathrm{P_0 P}$ 上に無数の点をとる. いま, このようにしてできた全ての点が同時に出発して, 点 $\mathrm{P_\mathit{n}}$ が点 $\mathrm{P_{\mathit{n}-1}}$ を中心として円を描くように動くとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{P_\mathit{n}}$ が描く曲線の長さを求めよ.
ただし, 線分 $\mathrm{P_0 P_1}$ が線分 $\mathrm{P_0 P}$ に対してなす角,
線分 $\mathrm{P_1 P_2}$ が線分 $\mathrm{P_0 P_1}$ に対してなす角,
線分 $\mathrm{P_2 P_3}$ が線分 $\mathrm{P_1 P_2}$ に対してなす角, ...
線分 $\mathrm{P_\mathit{n} P_{\mathit{n}+1}}$ が線分 $\mathrm{P_{\mathit{n}-1} P_\mathit{n}}$ に対してなす角の変化はすべて等しく, 一定の割合であるとする.
2023/02/22 訂正:
tima_C様のご指摘を受け、難易度を変更しました.
2023/03/21 訂正:
解答形式を変更しました. 解答に影響はありません.
解答形式
スペースを含めず, ASCII文字のみを用いて $\mathrm{\LaTeX}$ 形式で解答してください. $は必要ありません.
ただし, 文字や根号などの係数が分数の場合は
$$
\frac{3}{2}x\rightarrow\frac{3x}{2}
$$
のように, 文字を分子にまとめてください.
問題文
級数
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}-\frac{1}{14}-\frac{1}{15}-\frac{1}{16}+\cdots$$
の収束値を求めよ. ただし, この級数の第 $n$ 項の絶対値は $\dfrac{1}{n}$ であり, 各項の符号は $4$ 項ごとに交代する.
解答形式
収束値は $\fbox{A}\text{ - }\fbox{F}$ をいずれも自然数として最も簡単な形で $\displaystyle{\frac{\fbox{A}+\fbox{B}\sqrt{\fbox{C}}}{\fbox{D}}\pi+\frac{\log{\fbox{E}}}{\fbox{F}}}$
と 表されます. 文字列 $\fbox{A}\,\fbox{B}\,\fbox{C}\,\fbox{D}\,\fbox{E}\,\fbox{F}$ を解答してください.
新着問題
問題文
級数
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}-\frac{1}{14}-\frac{1}{15}-\frac{1}{16}+\cdots$$
の収束値を求めよ. ただし, この級数の第 $n$ 項の絶対値は $\dfrac{1}{n}$ であり, 各項の符号は $4$ 項ごとに交代する.
解答形式
収束値は $\fbox{A}\text{ - }\fbox{F}$ をいずれも自然数として最も簡単な形で $\displaystyle{\frac{\fbox{A}+\fbox{B}\sqrt{\fbox{C}}}{\fbox{D}}\pi+\frac{\log{\fbox{E}}}{\fbox{F}}}$
と 表されます. 文字列 $\fbox{A}\,\fbox{B}\,\fbox{C}\,\fbox{D}\,\fbox{E}\,\fbox{F}$ を解答してください.
問題文
定点 $\mathrm{P_0}$, $\mathrm{P}$ があり, $\mathrm{P_0 P}=1$ を満たしている.
線分 $\mathrm{P_0 P}$ の中点を $\mathrm{P_1}$,
線分 $\mathrm{P_1 P}$ の中点を $\mathrm{P_2}$,
線分 $\mathrm{P_2 P}$ の中点を $\mathrm{P_3}$, ... というように, $n\in\mathbb{N}$ に対し, 点 $\mathrm{P_\mathit{n}}$ を 線分 $\mathrm{P_{\mathit{n}-1}\mathrm{P}}$ の中点として, 線分 $\mathrm{P_0 P}$ 上に無数の点をとる. いま, このようにしてできた全ての点が同時に出発して, 点 $\mathrm{P_\mathit{n}}$ が点 $\mathrm{P_{\mathit{n}-1}}$ を中心として円を描くように動くとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{P_\mathit{n}}$ が描く曲線の長さを求めよ.
ただし, 線分 $\mathrm{P_0 P_1}$ が線分 $\mathrm{P_0 P}$ に対してなす角,
線分 $\mathrm{P_1 P_2}$ が線分 $\mathrm{P_0 P_1}$ に対してなす角,
線分 $\mathrm{P_2 P_3}$ が線分 $\mathrm{P_1 P_2}$ に対してなす角, ...
線分 $\mathrm{P_\mathit{n} P_{\mathit{n}+1}}$ が線分 $\mathrm{P_{\mathit{n}-1} P_\mathit{n}}$ に対してなす角の変化はすべて等しく, 一定の割合であるとする.
2023/02/22 訂正:
tima_C様のご指摘を受け、難易度を変更しました.
2023/03/21 訂正:
解答形式を変更しました. 解答に影響はありません.
解答形式
スペースを含めず, ASCII文字のみを用いて $\mathrm{\LaTeX}$ 形式で解答してください. $は必要ありません.
ただし, 文字や根号などの係数が分数の場合は
$$
\frac{3}{2}x\rightarrow\frac{3x}{2}
$$
のように, 文字を分子にまとめてください.