縦に $2$ マス,横に $20$ マス並んだ $2 \times 20$ のマス目に対して,以下の $2$ つの条件をともに満たすように各マスに $0$ 以上 $25$ 以下の整数を書き込む方法は $S$ 通りあるので,$S$ を割り切る素数すべての積を求めてください.ただし,$a_{i,j}$ で上から $i$ 行目,左から $j$ 列目に書き込まれた数字を表します.
・$1 \le j \le 20$ に対して,$a_{2,j} \le a_{1,j}$ .
・$1 \le i \le 2,1 \le j \le 19$ に対して,$a_{i,j+1} \le a_{i,j}$ .
半角数字で解答してください.
$64$個の球 $a_0,a_1,...a_{63}$それぞれを白色と黒色で塗り分ける方法で、以下の条件を満たすものは何通りありますか
・任意の整数 $i,j$ $(0\leqq i\leqq7,0\leqq j\leqq4)$ に対し、
$\lbrace a_{8i+j},a_{8i+j+1},a_{8i+j+2},a_{8i+j+3}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個
かつ、
任意の整数 $k,l$ $(0\leqq k\leqq4,0\leqq l\leqq7)$ に対し、
$\lbrace a_{8k+l},a_{8k+l+8},a_{8k+l+16},a_{8k+l+24}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個
半角数字で解答してください.