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問題文

三角形 $ABC$ において，角 $A$ の大きさは $120^\circ$ であり， $3$ 辺の長さ $BC, CA, AB$ はすべて正の整数です．さらに，辺 $CA$ と辺 $AB$ の長さの差はちょうど $1$ です．
　このような条件を満たす三角形のうち，辺 $BC$ の長さが小さい方から数えて $5$ 番目のものについて，辺 $BC$ の長さを解答してください．

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問題文

以下の $2$ つの条件をともに満たす正の整数 $x$ の総和を求めてください．

• $\sqrt{105625 - x^2}$ は整数である．
• $x$ と $\sqrt{105625 - x^2}$ の最大公約数は素数である．

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問題文

$1$枚のピザを $n$ 等分したとき，$1$ 切れの全体に対する割合が十進法において有限小数で正確に表せるような正の整数 $n$ の集合を $S$ とします．
集合 $S$ に属する $n$ に対し，$n$ のすべての正の約数の総乗を $P(n)$ と定めます．このとき，
$$P(n)=2000^{63}$$
を満たす $n$ の値を解答してください．

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問題文

$2$ 以上の整数 $n$ が以下の条件を満たすとき, $n$ を「頑固な数」と呼びます.

• $x^3 \equiv 1 \pmod n$ を満たす任意の整数 $x$ に対し, $x \equiv 1 \pmod n$ が成立する.

$(29!)^2$ の正の約数のうち, 「頑固な数」はいくつありますか.

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問題文

素数 $p = 10^9 + 7$ とし，整数 $N$ を $N = 10^{18} + 14000000047$ と定義します．

このとき，次の値 $S$ を $p$ で割った余りを求めてください．

$$S = \sum_{k=0}^{\lfloor N/2 \rfloor} \binom{N}{2k} 5^k$$

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正の整数 $n$ に対して, 以下の条件をすべて満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を $f(n)$ と定めます.

• $\mathrm{lcm}(x, y) = n$
• $x$ は $y^2$ の約数である
• $y$ は $x^2$ の約数である

$f(n) = 15$ を満たす正の整数 $n$ のうち, 小さい方から数えて $10$ 番目のものを求めてください.

問題文

$p=3, \quad q=5, \quad r=7$

$X = p^q + q^p$
$Y = q^r + r^q$
$Z = r^p + p^r$

$N = X^p + Y^q + Z^r$

このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。

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問題文

数列 ${a_n} $を、初項 $a_0 = 2, a_1 = 1 $と、漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n (n ≧ 0) $によって定める。
集合 $S $を、$1 ≦ k ≦ 42$ を満たす整数$ k $のうち、方程式 $m^2 - 43n = k $が整数解 $(m, n)$ を持たないような $k$ 全体の集合とする。
このとき、積 $P$ $= ∏_{k ∈ S} a_k$ を$43$で割った余りを求めよ。

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問題文

$p$ を $101$ 以上の素数とする。$g$ を法 $p$ における原始根とし、$1$ から $p-1$ までの整数 $k$ に対して、$g^{\text{ind}(k)} \equiv k \pmod p$ となる $0 \le \text{ind}(k) \le p-2$ の整数 $\text{ind}(k)$ を定める。

ある整数 $k$ ($2 \le k < p$) に対して、数列 ${a_n}$ を以下で定める。
* $a_1 = k$
* $a_{n+1} \equiv a_n \cdot g \pmod p \quad (n=1, 2, 3, \dots)$

また、数列 ${b_n}$ を $b_n = \text{ind}(a_n)$ で定め、数列 $\ {b_n}$ の初項から第 $p-1$ 項までの和
$S = \sum_{n=1}^{p-1} b_n$
とする。
このとき、和 $S$ が $2000$ で割り切れるような素数 $p$ の最小値を求めよ。

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問題文

$p, q, r $を互いに異なる3つの素数とする。

整数 $K = (qr)^{p-1} + (rp)^{q-1}+ (pq)^r$が、
$K ≡ p+q-1　(mod r)$
という条件を満たすとき、和 $p+q+r$ の最小値を求めよ。

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問題文

$3^{2025}$を $11$ で割った余りを求めよ。

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問題文

整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。

$x \equiv p \pmod{9797}$
$x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$

この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。

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問題文

正の整数 $n$に対して、数列${a_n}$を
$a_n＝(2+√5)^n$
と定める。このとき、
$a_{2025}$の十進数表記での1の位の数字は何か。

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問題文

$x \ge -1$ の範囲で定義される関数 $f(x)$ を、以下の無限多重根号によって定める。
$$f(x) = \sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+\cdots}}}}$$
$f(x)$ の逆関数を $g(x) = f^{-1}(x)$ とする。このとき、以下の定積分の値を求めよ。
$$\int_1^4 g(x) \, dx$$

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問題文

2つの実数 $\alpha$ と $\beta$ を次のように定義する。

• $\alpha = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$
• $\beta = \sqrt{17 + 12\sqrt{2}}$

この $\alpha, \beta$ を用いて、自然数 $n$ に対する数列 ${T_n}$ を以下で定める。

$$T_n = \alpha^{2^n} + \beta^{2^n}$$

このとき、$T_3$ の値は、ある正の整数 $A$ を用いて、

$$T_3= A + \sqrt{A^2-1}$$

と一意に表現することができる。

この整数 $A$ の値を求めよ。

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問題文

$x>0$において、次の関数を定義する。
$g(x) = √(x² + cos²x + sin⁴x + 2(xcosx + xsin²x + cosxsin²x))$
このとき、以下の極限値を求めよ。
$lim_{x→0^+} \frac{g(x) - (x + \cos x)}{x^2}$

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問題文

整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式
$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。

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問題文

3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える。その斜辺を$a$、直角を挟む2辺を$b, c$とする。

これらの辺の長さが、以下の関係式を満たしているという。
$$7a = 5(b+c)$$
この条件を満たす全ての直角三角形のうち、斜辺 $a$ が$10$の倍数であり、かつ $a < 200$ であるもの全てを考える。

それらの三角形の、面積の総和を求めよ。

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