問題文

整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式
$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし

問題文

3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える。その斜辺を$a$、直角を挟む2辺を$b, c$とする。

これらの辺の長さが、以下の関係式を満たしているという。
$$7a = 5(b+c)$$
この条件を満たす全ての直角三角形のうち、斜辺 $a$ が$10$の倍数であり、かつ $a < 200$ であるもの全てを考える。

それらの三角形の、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

問題文

ある整数辺の直角三角形について考える。
その三角形の半周長を$s$、斜辺を$a$、内接円の半径を $r$とする。
一辺の長さが $s$の正方形から、一辺の長さが a の正方形を隅から切り取ってできた、L字型の領域を考える。
このL字型の領域が、一辺の長さが$r$の正方形タイルを、重なりも隙間もなく、ちょうど整数枚だけ使って完璧に敷き詰められるという。
この条件を満たす三角形はどのようなものか、論ぜよ。

解答形式

最初にその三角形の形状を示し、
ある程度計算などを省略した証明をお願いします

問題文

3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える。
その面積を$S$、内接円の半径を$r$、斜辺を$a$とする。

これら3つの量の間に、「面積$S$を斜辺$a$で割ったときの余りが、内接円の半径$r$に等しい」という関係が成り立つ全ての直角三角形のうち、周長が$1000$未満であるものを全て求め、それらの斜辺の長さの総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし

問題文

整数辺の直角三角形の中で、ある特別な性質を持つものを「閉じた三角形」と呼ぶ。
その定義は次の通りである：
三角形の3つの頂点から、最も近い内接円の接点までの3つの線分を考える。その3つの線分の長さを3辺として、新たな非退化三角形を作ることができる。
この条件を満たすもののうち、斜辺が300未満であるもの全てを考え、それらの周長の総和を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

$P(x)$ は整数係数の3次多項式である。
すべての整数$n$に対して、$P(n)+1$ は常に立方数となるとする
$P(0)=7$ および $P(1)=26$ が成立している。
このとき、$P(2)-P(-1)$ の値を求めよ。

回答形式

半角スペースなし

問題

$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。
$P(0)＝6$
$P(1)＝4$
のとき、$P(4)$の値を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

問題文

3次の多項式 $P(x)$ は整数係数を持ち、すべての係数が整数であるとする。
0 でないある整数 $M$ について、$P(x)$ は以下の条件を満たす。
$kP(k) = M (k=1, 2, 3, 4)$
このとき、M が取りうる最小の正の整数値を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

問題文

$n ≧2$を整数、$p$を素数とする。正の整数 $x$ についての方程式
$x^n - (x-p)^n = p^n$
を考える。
$p$ が奇素数であり、$p$が $x$ を割り切らないとき、この方程式は解を持たないことを示せ。

解答形式

何の定理を使用したかを明確にされた上で、数式を出来るだけ省いてもらった形の簡単な証明で構いません

問題

三角形の重心を G、内心を I、内接円の半径を $r$ 、外接円の半径を$R$とする。もし $GI=r$ が成り立つとき、この条件を満たす非退化な三角形が存在するための、$R/r$ の最小値を求めよ。

解答形式

1行目に分子
2行目に分母を書いてください
半角で、根号が含まれる場合
√(17) √(41+5√(19)) 2√(15)+3√(17)
このように括弧を付けてください
また、指数が小さい順、同じ次数のものは小さい数のものから並べてください
例:√10+√15+1 ³√15+√17+9

問題文

$p$を 3 以上の素数とする。$X = (p-1)!$とおく。
次の和 S を考える。
(1) $S = X^X + X^{pX}$
$S$を $p^2$で割った余りを求めよ。
(2)$p$ を $3$ 以上の素数とし、$X=(p-1)!$ とおく。
$k=1, 2, \dots, p-1$ に対して、$A_k = k^{(X^p)}$ および $B_k = (X^k)^{(p-1)}$ と定義する。
次の和 $S$ を考える。
$$S = \sum\nolimits_{k=1}^{p-1} (A_k + B_k)$$
$S$ を $p^2$ で割った余りを求めよ。

問題文

$p$ は $gcd(p, 10) = 1$ を満たす $p > 1$ の素数とする。
$\frac{1}{p}$ の小数表示における循環節を $C_1C_2...C_L$ とし、その長さを $L$ とする (すなわち $L = ord_p(10)$ である)。
循環節を構成する数字の並びから、以下の2つの整数を定義する。
1. $N_0 = C_1C_2...C_L$ (これを10進法の整数として評価した値)
2. $N_1 = C_2C_3...C_LC_1$ (同様に10進法の整数として評価した値)
また、$C_1 = \lfloor \frac{10}{p} \rfloor$ (すなわち $\frac{1}{p}$ の小数第1位の数字) とする。

以下の2つの条件 (A) と (B) を同時に満たすような、全ての組 $(p, q)$ を求めよ。
(A) $N_1 = qN_0$ が成り立つ。ここで $q$ は $q \ge 2$ を満たす整数である。
(B) $L = q - C_1$ が成り立つ。

解答形式

ある程度解答の方針を示した上で、
解を答えて下さい

問題

x,y,z を正の整数とするとき、方程式
$$\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz+1}=k$$
は正の整数 k の値をとるとする。

(1)この条件を満たす$(x,y,z)$のうち、少なくとも1つが$1$であるとき、$k＝1+m^2$(mは自然数)とかけることを示せ。
(2) k=5 とする。方程式 $\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz+1}=5$ を満たす正の整数解 (x,y,z) で、$x \le y \le z$ を満たすものを考える。これらの解の中で、比の値 $\frac{z}{y}$ が $9.8$ より大きくなるような解のうち、$z$ の値が最小となるものを求めよ。

解答形式

(1)は簡潔な証明と、
(2)はある程度解答の方針を示した上で
解を答えて下さい。

問題文

$gcd(x,y,z)＝1$を満たす$x,y,z$について、 $x^2+y^2, y^2+z^2, z^2+x^2$がすべて正の整数の平方となるとき、次の問いに答えよ。
(1) $x,y,z$ のうち、奇数であるものの個数は高々1つであることを示せ。
$x$を奇数、 $y, z$ を4の倍数とする。
(2) $y=44$のとき、上記の条件を満たす正の整数$x, z$の組を全て求めよ。

解答形式

(1)は簡潔な証明
(2)は答えだけで構いません

問題文

数列 ${a_n}$ ($n \ge 0$) が、初期値 $a_0 = 3$ および以下の漸化式で定義されるとする。
$$a_{n+1} = a_n^2 - 2 \quad (n \ge 0)$$
この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。
ただし、黄金比を$Φ$とする。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

設問1

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 1, a_2 = 4$ および漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = n \cdot 2^n$ ($n \ge 1$) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

半角1スペースで答えのみ

設問4

数列 ${a_n}$ が $a_0=1, a_1=0, a_2=-1$ および漸化式
$$a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 2^n \quad (n \ge 0)$$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

設問5

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 2$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n^2+2}{2a_n}$ ($n \ge 1$) を満たすとする。
一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。