sulippa

問題文

$p, q, r $を互いに異なる3つの素数とする。

整数 $K = (qr)^{p-1} + (rp)^{q-1}+ (pq)^r$が、
$K ≡ p+q-1　(mod r)$
という条件を満たすとき、和 $p+q+r$ の最小値を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

$3^{2025}$を $11$ で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。

$x \equiv p \pmod{9797}$
$x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$

この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

$p=3, \quad q=5, \quad r=7$

$X = p^q + q^p$
$Y = q^r + r^q$
$Z = r^p + p^r$

$N = X^p + Y^q + Z^r$

このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

$p$ を $101$ 以上の素数とする。$g$ を法 $p$ における原始根とし、$1$ から $p-1$ までの整数 $k$ に対して、$g^{\text{ind}(k)} \equiv k \pmod p$ となる $0 \le \text{ind}(k) \le p-2$ の整数 $\text{ind}(k)$ を定める。

ある整数 $k$ ($2 \le k < p$) に対して、数列 ${a_n}$ を以下で定める。
* $a_1 = k$
* $a_{n+1} \equiv a_n \cdot g \pmod p \quad (n=1, 2, 3, \dots)$

また、数列 ${b_n}$ を $b_n = \text{ind}(a_n)$ で定め、数列 $\ {b_n}$ の初項から第 $p-1$ 項までの和
$S = \sum_{n=1}^{p-1} b_n$
とする。
このとき、和 $S$ が $2000$ で割り切れるような素数 $p$ の最小値を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

数列 ${a_n} $を、初項 $a_0 = 2, a_1 = 1 $と、漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n (n ≧ 0) $によって定める。
集合 $S $を、$1 ≦ k ≦ 42$ を満たす整数$ k $のうち、方程式 $m^2 - 43n = k $が整数解 $(m, n)$ を持たないような $k$ 全体の集合とする。
このとき、積 $P$ $= ∏_{k ∈ S} a_k$ を$43$で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

2つの実数 $\alpha$ と $\beta$ を次のように定義する。

• $\alpha = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$
• $\beta = \sqrt{17 + 12\sqrt{2}}$

この $\alpha, \beta$ を用いて、自然数 $n$ に対する数列 ${T_n}$ を以下で定める。

$$T_n = \alpha^{2^n} + \beta^{2^n}$$

このとき、$T_3$ の値は、ある正の整数 $A$ を用いて、

$$T_3= A + \sqrt{A^2-1}$$

と一意に表現することができる。

この整数 $A$ の値を求めよ。

解答形式

半角

問題文

$x \ge -1$ の範囲で定義される関数 $f(x)$ を、以下の無限多重根号によって定める。
$$f(x) = \sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+\cdots}}}}$$
$f(x)$ の逆関数を $g(x) = f^{-1}(x)$ とする。このとき、以下の定積分の値を求めよ。
$$\int_1^4 g(x) \, dx$$

解答形式

半角

問題文

$x>0$において、次の関数を定義する。
$g(x) = √(x² + cos²x + sin⁴x + 2(xcosx + xsin²x + cosxsin²x))$
このとき、以下の極限値を求めよ。
$lim_{x→0^+} \frac{g(x) - (x + \cos x)}{x^2}$

解答形式

半角

問題文

正の整数 $n$に対して、数列${a_n}$を
$a_n＝(2+√5)^n$
と定める。このとき、
$a_{2025}$の十進数表記での1の位の数字は何か。

解答形式

半角

問題文

3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える。
その面積を$S$、内接円の半径を$r$、斜辺を$a$とする。

これら3つの量の間に、「面積$S$を斜辺$a$で割ったときの余りが、内接円の半径$r$に等しい」という関係が成り立つ全ての直角三角形のうち、周長が$1000$未満であるものを全て求め、それらの斜辺の長さの総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし

問題文

整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式
$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし

問題文

ある整数辺の直角三角形について考える。
その三角形の半周長を$s$、斜辺を$a$、内接円の半径を $r $とする。
一辺の長さが $s$の正方形から、一辺の長さが a の正方形を隅から切り取ってできた、L字型の領域を考える。
このL字型の領域が、一辺の長さが$r$の正方形タイルを、重なりも隙間もなく、ちょうど整数枚だけ使って完璧に敷き詰められるという。
この条件を満たす三角形はどのようなものか、論ぜよ。

解答形式

最初にその三角形の形状を示し、
ある程度計算などを省略した証明をお願いします

問題文

3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える。その斜辺を$a$、直角を挟む2辺を$b, c$とする。

これらの辺の長さが、以下の関係式を満たしているという。
$$7a = 5(b+c)$$
この条件を満たす全ての直角三角形のうち、斜辺 $a$ が$10$の倍数であり、かつ $a < 200$ であるもの全てを考える。

それらの三角形の、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

問題文

整数辺の直角三角形の中で、ある特別な性質を持つものを「閉じた三角形」と呼ぶ。
その定義は次の通りである：
三角形の3つの頂点から、最も近い内接円の接点までの3つの線分を考える。その3つの線分の長さを3辺として、新たな非退化三角形を作ることができる。
この条件を満たすもののうち、斜辺が300未満であるもの全てを考え、それらの周長の総和を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

3次の多項式 $P(x)$ は整数係数を持ち、すべての係数が整数であるとする。
0 でないある整数 $M$ について、$P(x)$ は以下の条件を満たす。
$kP(k) = M (k=1, 2, 3, 4)$
このとき、M が取りうる最小の正の整数値を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

問題文

$P(x)$ は整数係数の3次多項式である。
すべての整数$ n $に対して、$P(n)+1$ は常に立方数となるとする
$P(0)=7$ および $P(1)=26$ が成立している。
このとき、$P(2)-P(-1)$ の値を求めよ。

回答形式

半角スペースなし

問題

$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。
$P(0)＝6$
$P(1)＝4$
のとき、$P(4)$の値を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし