次のルールで整数を10個1列に並べて書く ・左端は21である ・隣り合う2数について、右の数は左の数の2倍の数か、左の数から3を引いたものである あり得る整数の列はいくつありますか
2種類のお菓子A、Bがそれぞれ24個ずつある、これをX, Y, Zの3人で余りなく分けることにした。ここで、ある人が1個ももらわないお菓子の種類があってもよい、X、Y、Zの3人のうちに、以下の条件をみたす2人が存在しないような分け方は何通りありますか。
条件:2人のうち1人はAをa個、Bをa'個もらい、もう1人はAをb個、Bをb'個もらうとき、a≤a'かつb≤b'かつa+b<a'+b'が成り立っている。
N×Nのマス目にNこの駒を置くと、ある面積N以上の長方形のエリアで、エリア内に駒が存在しないものは存在しなかった。このような駒の配置方法の総数をf(N)として、$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty } f( i)$を計算して下さい。
平面上の (0,0)から (7,7) まで，次の 2 つの条件をともに満たしながら格子点上を移動する方法は何通りありますか
・格子点 (x,y) にいるとき，次に移動できる格子点は (x+1,y),(x,y+1) のいずれかである ・移動の途中で (0,0) でない格子点 (t,t) を通過した場合，格子点 (2t,2t) を通過することはできない (1≦t≦3,tは整数)
次の条件を満たす2025以下のnはいくつ存在しますか
条件 $f(n)=4d(n)$として、 ($d(n)$はnの正の約数の個数) $f^5(n)+f^{1278}(n)=56$が成立する。 (fの肩は関数の合成回数を表す)
n以下の全ての自然数の集合Sの部分集合Tは次を満たした。 ・Tの任意の要素x,yについて、xyはTに含まれない。 nに対するTの要素数の最大値をf(n)とする。 このとき、ある人は命題Qnを唱えた。 「Tの要素数がf(n)となるTは1つしかない」 Qnが偽となる2025以下のnの総和を求めよ。
ボール100個をランダムに20人に分ける。10人が1組の生徒で、10人が2組の生徒である。ボールが全く貰えない人がいてもよい。全てのボールは区別できず、分け方は$ _{119}C_{19}$通りあるが、それぞれの分け方は同様に確からしい。 1組の生徒のうち、それぞれの持つボール数の総積をポイントとする。ポイントの期待値は互いに素なA,Bで$\frac{A}{B}$と表せるので、A+Bを解答せよ。
Aさんは次のゲー厶を行った。 Aさんはコインを持っていない。 2つのボタンがある。片方を押すと$1/3$の確率でコイン、もう片方を押すと$2/3$の確率でコインが得られる。4050回ボタンを押して2025個のコインが得られるようにAさんが最善の行動をした際、Aさんは次の条件を満たした。 ①4050回スイッチを押した後コインを2025持っていた。 ②2n回スイッチを押した後コインをn個持っている、という状態が0以上3回以下発生した。(1≦n≦2024) 条件①②を同時に満たす確率をある既約分数$\frac{a}{b}$を用いて $\frac{a}{b}×_{4050}C_{2025}×(\frac{2}{9})^{2025}$ と表せるので、a+bを求めよ。
$S=$$\{$$\sqrt{1},\sqrt{2},\dots,\sqrt{n} $$\}$の部分集合であって、次を満たすものの個数をmとする。 ・要素が3つ ・どの2つを選んでも、2つの比の値が有理数となる
n=mとなるnを全て求め、その総和を求めなさい。
次のグラフにおいて、毎ターン1つの線分上を駒が移動するとき、初期位置を点Pとして、1024ターン後に駒が点Pに戻るとき、駒の移動のやり方としてあり得るものの総数を1007で割った余りを求めよ。
