次のルールで整数を10個1列に並べて書く ・左端は21である ・隣り合う2数について、右の数は左の数の2倍の数か、左の数から3を引いたものである あり得る整数の列はいくつありますか
平面上の (0,0)から (7,7) まで，次の 2 つの条件をともに満たしながら格子点上を移動する方法は何通りありますか
・格子点 (x,y) にいるとき，次に移動できる格子点は (x+1,y),(x,y+1) のいずれかである ・移動の途中で (0,0) でない格子点 (t,t) を通過した場合，格子点 (2t,2t) を通過することはできない (1≦t≦3,tは整数)
2種類のお菓子A、Bがそれぞれ24個ずつある、これをX, Y, Zの3人で余りなく分けることにした。ここで、ある人が1個ももらわないお菓子の種類があってもよい、X、Y、Zの3人のうちに、以下の条件をみたす2人が存在しないような分け方は何通りありますか。
条件:2人のうち1人はAをa個、Bをa'個もらい、もう1人はAをb個、Bをb'個もらうとき、a≤a'かつb≤b'かつa+b<a'+b'が成り立っている。
N×Nのマス目にNこの駒を置くと、ある面積N以上の長方形のエリアで、エリア内に駒が存在しないものは存在しなかった。このような駒の配置方法の総数をf(N)として、$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty } f( i)$を計算して下さい。
$S=$$\{$$\sqrt{1},\sqrt{2},\dots,\sqrt{n} $$\}$の部分集合であって、次を満たすものの個数をmとする。 ・要素が3つ ・どの2つを選んでも、2つの比の値が有理数となる
n=mとなるnを全て求め、その総和を求めなさい。
3つの空箱がある。次のルールで2人で交互に石を箱に入れる。 ・どちらかの行動を行う ・1つの箱に1つ石を入れる。 ・既に石が入っている1つの箱に、今入っている個数の石をその箱に入れる (つまり、石の個数が倍になる) ・ただし、既に箱にN個以上入っている場合はこれ以上石を入れられない
全ての山の石の個数をそれぞれN以上にした方が勝ちである。後手必勝となる2025以下のNの総和を求めよ。
ボール100個をランダムに20人に分ける。10人が1組の生徒で、10人が2組の生徒である。ボールが全く貰えない人がいてもよい。全てのボールは区別できず、分け方は$ _{119}C_{19}$通りあるが、それぞれの分け方は同様に確からしい。 1組の生徒のうち、それぞれの持つボール数の総積をポイントとする。ポイントの期待値は互いに素なA,Bで$\frac{A}{B}$と表せるので、A+Bを解答せよ。
Aさんは次のゲー厶を行った。 Aさんはコインを持っていない。 2つのボタンがある。片方を押すと$1/3$の確率でコイン、もう片方を押すと$2/3$の確率でコインが得られる。4050回ボタンを押して2025個のコインが得られるようにAさんが最善の行動をした際、Aさんは次の条件を満たした。 ①4050回スイッチを押した後コインを2025持っていた。 ②2n回スイッチを押した後コインをn個持っている、という状態が0以上3回以下発生した。(1≦n≦2024) 条件①②を同時に満たす確率をある既約分数$\frac{a}{b}$を用いて $\frac{a}{b}×_{4050}C_{2025}×(\frac{2}{9})^{2025}$ と表せるので、a+bを求めよ。
次のグラフにおいて、毎ターン1つの線分上を駒が移動するとき、初期位置を点Pとして、1024ターン後に駒が点Pに戻るとき、駒の移動のやり方としてあり得るものの総数を1007で割った余りを求めよ。
