Youteru

次のグラフにおいて、毎ターン1つの線分上を駒が移動するとき、初期位置を点Pとして、1024ターン後に駒が点Pに戻るとき、駒の移動のやり方としてあり得るものの総数を1007で割った余りを求めよ。

n以下の全ての自然数の集合Sの部分集合Tは次を満たした。
・Tの任意の要素x,yについて、xyはTに含まれない。
nに対するTの要素数の最大値をf(n)とする。
このとき、ある人は命題Qnを唱えた。
「Tの要素数がf(n)となるTは1つしかない」
Qnが偽となる2025以下のnの総和を求めよ。

どの4頂点を選んでもそれが閉路にならない、800頂点の単純平面グラフの辺の数の最大値を求めよ。

Aさんは次のゲー厶を行った。
Aさんはコインを持っていない。
2つのボタンがある。片方を押すと$1/3$の確率でコイン、もう片方を押すと$2/3$の確率でコインが得られる。4050回ボタンを押して2025個のコインが得られるようにAさんが最善の行動をした際、Aさんは次の条件を満たした。
①4050回スイッチを押した後コインを2025持っていた。
②2n回スイッチを押した後コインをn個持っている、という状態が0以上3回以下発生した。(1≦n≦2024)
条件①②を同時に満たす確率をある既約分数$\frac{a}{b}$を用いて
$\frac{a}{b}×_{4050}C_{2025}×(\frac{2}{9})^{2025}$
と表せるので、a+bを求めよ。

24×24の方眼紙に色を塗る。使う色は、ビリジアン、エメラルド、ライムである。
色を塗った後、方眼紙の上下をねじらずに丸めて繋げると筒状になり、さらに筒の端同士をねじらずに丸めて繋げるとトーラスになる。このとき、どのマス目に対しても次の条件を満たした。

・自身のマスに隣り合う4マスのうち、斜めに繋がっていない2マスを選ぶと、必ずどちらかが自身と同じ色で、どちらかが自身と異なる色である
・任意の2×2の正方形内の色に関して、同じ色で隣り合っている2マスが存在しなければ、正方形内に3種類の色が存在する

あり得る塗り方は何通りあるか。但し、方眼紙を回転させて一致するものは異なるものとして数える。

次のルールで整数を10個1列に並べて書く
・左端は21である
・隣り合う2数について、右の数は左の数の2倍の数か、左の数から3を引いたものである
あり得る整数の列はいくつありますか

平面上の (0,0)から (7,7) まで，次の 2 つの条件をともに満たしながら格子点上を移動する方法は何通りありますか

・格子点 (x,y) にいるとき，次に移動できる格子点は
(x+1,y),(x,y+1) のいずれかである
・移動の途中で (0,0) でない格子点 (t,t) を通過した場合，格子点
(2t,2t) を通過することはできない
(1≦t≦3,tは整数)

2種類のお菓子A、Bがそれぞれ24個ずつある、これをX, Y, Zの3人で余りなく分けることにした。ここで、ある人が1個ももらわないお菓子の種類があってもよい、X、Y、Zの3人のうちに、以下の条件をみたす2人が存在しないような分け方は何通りありますか。

条件:2人のうち1人はAをa個、Bをa'個もらい、もう1人はAをb個、Bをb'個もらうとき、a≤a'かつb≤b'かつa+b<a'+b'が成り立っている。

ボール100個をランダムに20人に分ける。10人が1組の生徒で、10人が2組の生徒である。ボールが全く貰えない人がいてもよい。全てのボールは区別できず、分け方は$ _{119}C_{19}$通りあるが、それぞれの分け方は同様に確からしい。
1組の生徒のうち、それぞれの持つボール数の総積をポイントとする。ポイントの期待値は互いに素なA,Bで$\frac{A}{B}$と表せるので、A+Bを解答せよ。

$S=$$\{$$\sqrt{1},\sqrt{2},\dots,\sqrt{n} $$\}$の部分集合であって、次を満たすものの個数をmとする。
・要素が3つ
・どの2つを選んでも、2つの比の値が有理数となる

n=mとなるnを全て求め、その総和を求めなさい。

N×Nのマス目にNこの駒を置くと、ある面積N以上の長方形のエリアで、エリア内に駒が存在しないものは存在しなかった。このような駒の配置方法の総数をf(N)として、$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty } f( i)$を計算して下さい。

3つの空箱がある。次のルールで2人で交互に石を箱に入れる。
・どちらかの行動を行う
　・1つの箱に1つ石を入れる。
　・既に石が入っている1つの箱に、今入っている個数の石をその箱に入れる
(つまり、石の個数が倍になる)
・ただし、既に箱にN個以上入っている場合はこれ以上石を入れられない

全ての山の石の個数をそれぞれN以上にした方が勝ちである。後手必勝となる2025以下のNの総和を求めよ。

次の条件を満たす2025以下のnはいくつ存在しますか

条件
$f(n)=4d(n)$として、
($d(n)$はnの正の約数の個数)
$f^5(n)+f^{1278}(n)=56$が成立する。
(fの肩は関数の合成回数を表す)

Sを0以上10以下の自然数の集合として、
P君は、xy座標平面$S^2$の盤面上で、スタートからゴールへ移動する。xが増加する方向が右で、yが増加する方向が上である。6種類の点が存在する。
スタート…(0,0)で、P君が可能な動きはバイオレットと同じである。
ゴール…(10,10)
ネイビー…スタート、ゴール以外の点について、xがyの倍数なら(x,y)はネイビーであり、xがyの倍数でないなら(x,y)はネイビーでない。P君はネイビーに移動できない。
バーミリオン…P君がこの点にいるとき、P君は1つ上へ移動するか、2つ右、1つ下に飛んで移動することができる。
バイオレット…P君がこの点にいるとき、P君は1つ右へ移動するか、2つ上、1つ左に飛んで移動することができる。
アイボリー…P君はアイボリーに移動できない。アイボリーは全部で5個存在する。

ただし、P君が移動して座標平面$S^2$から飛び出てはいけない。
全ての$S^2$に含まれる点のうち、スタート、ゴール、ネイビー以外の点に自由にバーミリオン、バイオレット、アイボリーのいずれかを塗ることができ、その盤面AについてP君がスタートからゴールに行く方法の総数をF(A)とする。
F(A)の最大値をXとし、
全ての盤面Aについて、F(A)の総和をYとし
Yを10007で割った余りをZとして、XとZの10進法における文字列の結合を求めよ。

※この問題は人力で解けることを想定していない可能性があります。

平安時代には次のルールがある。
・男性が3日連続女性の家に通ったらその女性と結婚が成立する。
・男性が3年(1095日)間一切女性の家に通わなかったらその女性と離婚が成立する。
1人の男性が同時に女性と結婚できる人数は最大X人であり、女性の家に通いはじめてからX人の女性と結婚するのに必要な日数の最小値はY日である。XとYの10進数における文字列の結合を解答しなさい。ただし、1人の男性が1日に通える女性の家は1つだけである。
(寿命や重婚に対する刑罰は考慮しないものとする)