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問題文

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ に異なる $4$ 点で内接、外接する正方形の面積をそれぞれ $S_1, S_2$ とする。以下の選択肢の中から面積比 $\dfrac{S_2}{S_1}$ を表しているものを選べ。

1 $\,\dfrac{a+b}{ab}\quad$2 $\,\dfrac{(a+b)^2}{ab} \quad $3 $\,\dfrac{a^2+b^2}{ab} \quad $4 $\,\dfrac{(a^2+b^2)^2}{a^2b^2} \quad $5 $\,\dfrac{a^4+b^4}{a^2b^2}$

6 $\,\dfrac{a+b}{2ab}\quad$7 $\,\dfrac{(a+b)^2}{2ab} \quad $8 $\,\dfrac{a^2+b^2}{2ab} \quad $9 $\,\dfrac{(a^2+b^2)^2}{2a^2b^2} \quad $10 $\,\dfrac{a^4+b^4}{2a^2b^2}$

解答形式

選択肢の数字を答えてください。

問題文

ある学生の祝日のない $1$ 週間の勉強習慣は以下のようになっている$.$

• $1$ 週間で勉強する日数の平均は $4$ 日であり$,\,$ 平日の $5$ 日間で勉強する日数の平均は $3$ 日である$.$
• 平日は勉強する日と勉強しない日をそれぞれ必ず $1$ 日以上設ける$.\,$ また$,\,$ 休日は勉強する日を必ず $1$ 日以上設ける$.$
• $1$ 週間のうち$,\,$ 勉強する日数がちょうど $2$ 日である確率は $\frac{1}{14}$ $,\,$ ちょうど $5$ 日である確率は $\frac{1}{4}$ である$.$

この学生が $1$ 週間でちょうど $4$ 日勉強する確率を求めよ$.$

解答形式

答えは互いに素な正の整数 $a\,,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので$,\,$ $a+b$ の値を答えてください$.$

問題文

長方形 $\mathrm{ABCD}$ の $2$ 頂点 $\mathrm{A}\,,\mathrm{B}$ が円 $\mathrm{O}$ 上にあり$,\,$ 辺 $\mathrm{CD}$ が円 $\mathrm{O}$ に接している$.\,$ $\mathrm{A}\,,\mathrm{B}$ の各点において円 $\mathrm{O}$ に外接し$,\,$ かつ直線 $\mathrm{CD}$ に接する円をそれぞれ円 $\mathrm{O_A}\,,\mathrm{O_B}$ とする$.\,$ $2$ 円 $\mathrm{O_A}\,,\mathrm{O_B}$ が外接するときの長方形 $\mathrm{ABCD}$ の辺の長さの比 $\mathrm{\dfrac{AB}{BC}}$ の値を求めよ$.$

解答形式

答えは互いに素な正の整数 $a\,,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので$,\,$ $a+b$ の値を解答してください$.$

類題 https://pororocca.com/problem/3216/

問題文

網掛けになっている小さい正六角形と大きい正六角形の面積比は、互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せます。 $a+b$ の値を答えてください。

問題文

$0<m<n$ とする。以下の等式を満たす自然数 $m,n$ を全て求めよ。
$$\frac{(m+n-1)^4-(m+n-2)^4+m-n+1}{4(m+n-1)+m-n}=2026$$

解答形式

$m,n$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2
12,34

問題文

$2025^{2026}+2026^{2025}$ について以下の問いに答えよ。

$(1)$ $625$ で割った余りを求めよ。

$(2)$ 下 $4$ 桁の数を求めよ。

解答形式

答え二つを半角カンマ(,)で区切って答えてください。
例)123,456

追記：解答を修正しました。答えが合っているのに誤答判定された方は申し訳ございません。

問題文

$$\frac{2^{22}-22^2-4-44^4}{2 \times 22+4 \times 44}= \space ?$$$?$ に入る自然数を答えよ。

問題文

$n>10$ とする。
$n$ 進法で $2026_{(n)}$ と表される自然数が $2026$ で割り切れるような自然数 $n$ を小さいものから $3$ つ足し合わせた数を答えよ。

必要なら $1013$ は素数であること、 $m^2 \equiv 937 \pmod {1013}$ を満たす $1013$ 以下の自然数 $m$ は $2$ つのみで、その $1$ つが $472$ であることを用いてよい。

問題文

自然数 $a,b,c$ が互いに異なる自然数であるとき
$$N=(9a-1)^2+9b^2+9c^2=(9a+1)^2-9b^2-9c^2$$と表される自然数 $N$ の最小値を求めよ。

問題文

以下の等式を満たす自然数 $a,b,c$ の組を全て求めよ。
$$a^b(c-1)+a+c=2^{bc-1}-a-b=2026$$

解答形式

$a,b,c$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2,3
12,34,56

問題文

以下の二つの等式を満たす自然数 $a,b,c$ の組を全て求めよ。
$$\begin{cases} a-b=3c \\ a^3-b^3-c^3=c^5 \end{cases}$$

解答形式

$a,b,c$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2,3
12,34,56

問題文

四面体 $\mathrm{ABCD}$ の各辺 $\mathrm{AB\,,AC\,,AD\,,CD\,,DB\,,BC}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{P\,,Q\,,R\,,S\,,T\,,U}$ とする$.\,$ 四角形 $\mathrm{PQST\,,QRTU}$ がともに長方形となるとき$,$
$\mathrm{AB^2+CD^2=AC^2+DB^2=AD^2+BC^2}$
となることを示せ$.$

解答形式

簡単な証明をお書きください$.$

問題文

$n$ を自然数とする。 $n^5+n+1$ が互いに異なる $4$ つの素数の積で表されるような $n$ のうち最小のものを答えよ。

問題文

実数 $a,b,c$ がこの順に等差数列となっている。 $3\times3$ のマス一つずつに $a,b,c$ を自由に配置したとき、縦横斜め一列に並ぶ $3$ 数の和が一致する列の組が必ず存在するか。

解答形式

必ず存在するならば $1$ 、必ずしも存在しないならば $0$ と答えてください。

問題文

各桁が奇数のみで表される自然数の逆数からなる級数
$\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19}+\frac{1}{31}+\cdots$
の和を $S$ とすると、
$$\sum\limits_{n=1}^{10} \dfrac{1}{n} < S < 2 \sum\limits_{n=1}^{5} \dfrac{1}{2n-1}$$
となることを示せ。

問題文

$86^{48}-64$ を $864$ で割った余りを求めよ。

問題文

$3$ つの円が互いに外接し$,\,$ かつ各円が直線 $l$ に接している$.\,$ $1$ つの円と直線 $l$ との接点を $\mathrm{O}$ とし$,\,$ その円と他の $2$ 円との接点をそれぞれ $\mathrm{A\,,B}$ とする$.\,$ $\mathrm{O}$ から直線 $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とする$.\,$ 線分 $\mathrm{AB}$ の長さを $d$ として$,\,$ 線分 $\mathrm{OH}$ の長さを $d$ を用いて表せ$.$