解けたら天才 複素数漸化式

解けない漸化式の極限には以下の定石がある。

step1 特性方程式を解いて極限を予想する
step2 $|z_{n+1}-\alpha| \leqq r|z_n-\alpha|$となるような、$\,n\,$に依存しない$\,r\, \in (0,1)\,$を見つける
$\,$
しかし本問では、$z_1\,$が未定なため、任意の$\,n\,$に対して上記の不等式が満たされるとは限らない。そこで、十分に大きい$\,n\,$の下でなら不等式が満たされることを示せばよい。

本問の背景には、円の反転写像がある。
点$\,P(z)\,$を単位円で反転した点を$\,Q(w)\,$とすると、以下が成り立つ。
$$
|z||w|=1\,\land\,\exists\,k>0,\,z=kw $$
つまり、点$\,Q\,$は半直線$\,OP\,$で$\,|OP||OQ|=1\,$を満たす点である。
定義から$\,\displaystyle w=\frac{1}{\bar{z}}\,$であることがわかる。